Question

Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции
f(x)= x^(-2)+x^(-3)-3x^(-10)+7x^(-14)
в окрестности точки Xo = 1. Помогите пожалуйста!

Answer 1

Разложение в ряд Тейлора:
$\displaystyle f(x)=f(x_0)+ \frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

$f'(x)=- \dfrac{2}{x^3} -\dfrac{3}{x^4} +\dfrac{30}{x^{11}} -\dfrac{98}{x^{15}} \\ \\ f'(x_0)=f'(1)=-2-3+30-98=-73\\ \\ \\ f''(x)=\dfrac{6}{x^4}+\dfrac{12}{x^5}-\dfrac{330}{x^{12}} +\dfrac{1470}{x^{16}}\\ \\ f''(1)=6+12-330+1470=1158 \\ \\ \\ f'''(x)=-\dfrac{24}{x^5} -\dfrac{60}{x^6} +\dfrac{3960}{x^{13}} -\dfrac{23520}{x^{17}} \\ \\ f'''(1)=-24-60+3960-23520=-19644$

$f^{(4)}(x)=\dfrac{120}{x^6} +\dfrac{360}{x^7} -\dfrac{51480}{x^{14}} +\dfrac{399840}{x^{18}}\\ \\ f^{(4)} (1)=120+360-51480+399840=348840$


$a_1=6\\ a_2=-73(x-1)\\ a_3=579(x-1)^2\\ a_4=-3274(x-1)^3\\ \\ a_5=14535(x-1)^4$