Question

В арифметичній прогресії a(3)+a(6)=16; a(3)*a(6)=55 . Скільки членів прогресії треба взяти, щоб отримати суму, рівну 81

Answer 1

Загальна формула n-го члена арифметичної прогресії обчислюється наступним чином: 
    $a_n=a_1+(n-1)d$
Користуючись цією формулою, будемо мати
$\displaystyle \left \{ {{a_1+2d+a_1+5d=16} \atop {(a_1+2d)(a_1+5d)=55}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2a_1+7d=16} \atop {(a_1+2d)(a_1+5d)=55}} \right.$

З рівнянні (1) виразимо змінну $a_1$: $a_1= \frac{16-7d}{2}$

Підставимо в (2) рівняння 

$(\frac{16-7d}{2} +2d)(\frac{16-7d}{2} +5d)=55|\cdot 4\\ \\ (16-7d+4d)(16-7d+10d)=220\\ \\ (16-3d)(16+3d)=220\\ \\ 16^2-(3d)^2=220\\ \\ -9d^2=220-256\\\\ d^2=4\\ \\ d=\pm2$

Тоді $a_1=15$, якщо d=-2, а якщо d=2 , то $a_1=1$

$S_n= 81$

Тобто

$\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n=81$

Якщо $a_1=15$ и $d=-2$, то
$\frac{2\cdot15-2\cdot(n-1)}{2} \cdot n=81\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\, n^2-16n+81=0\\ \\ D=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot81\ \textless \ 0$

Оскільки D<0, то квадратне рівняння дійсних коренів не має

Якщо $a_1=1;\,\,\, d=2$, то

$\frac{2\cdot 1+2\cdot(n-1)}{2} \cdot n=81\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,n^2=81\\ n=\pm9$
Оскільки n>0, то n=-9 - сторонній


Відповідь: n=9

Answer 2

{a3+a6=16⇒(a1+2d)+(a1+5d)=16
{a3*a6=55⇒(a1+2d)*(a1+5d)=55
воспользуемся теоремой Виета
х1+х2=16 Г х1*х2=55⇒х1=5 и х2=11
{a1+2d=5
{a1+5d=11
отнимем
-3d=-6
d=2
a1+4=5
a1=1
Sn=(2a1+d(n-1))*n/2
(2+2(n-1))*n/2=81
(2+2n-2)*n=162
2n²=162
n²=81
n=-9не удов усл
n=9