Question

Решите уравнение, пожалуйста):
$(x-3) \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } - (x+4) \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} } =7$

Answer 1

$\displaystyle (x-3) \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } -(x+4) \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} }=7$

Представим правую часть уравнения так:

$\displaystyle (x-3)\sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} }-(x+4)\sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} }=x+4-(x-3)\,\,\, |:(x-3\ne0)\\ \\ \\ \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} }- \frac{x+4}{x-3} \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} }= \frac{x+4}{x-3} -1$

Пусть $\sqrt[3]{ \dfrac{x+4}{x-3} }=t;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, \dfrac{x+4}{x-3}=t^3$

Тогда имеем

$\frac{1}{t} -t^3\cdot t=t^3-1 |\cdot t\\ \\ 1-t^5=t^4-t\\ \\ t^5+t^4-t-1=0\\ t^4(t+1)-(t+1)=0\\ \\ (t+1)(t^4-1)=0\\ (t+1)(t^2-1)(t^2+1)=0\\ (t+1)^2(t-1)(t^2+1)=0\\ t_1=-1\\ t_2=1$

Обратная замена

$\sqrt[3]{ \dfrac{x+4}{x-3} }=-1\\ \\ x+4=-x+3\\ 2x=-1\\ x=-0.5\\ \\ \\ \sqrt[3]{ \dfrac{x+4}{x-3} }=1\\ \\ x+4=x-3\\ 4=-3$
Последнее уравнение решений не имеет


Ответ: -0.5

Answer 2

(x-3)∛(x-3)/(x+4) - (x+4)∛(x+4)/(x-3) = 7
одз x≠-4 x≠3
замена 
∛(x+4)=u
∛(x-3)=v
(x+4)=u³
(x-3)=v³
v³*v/u - u³*u/v=7
u³ - v³ =(∛(x+4))³ - (∛(x-3))³ = x+4 - x+3=7
приравняем
v³*v/u - u³*u/v=u³ - v³
v³*v/u + v³ =u³*u/v+u³ 
v³*(v/u + 1) = u³*(u/v + `1)
v³/u*(v+u)= u³/v(u+v)
u+v=0
u=-v
∛(x+4)=-∛(x-3)
возводим в куб
x+4=-x+3
2x=-1
x=-1/2=-0.5 первый корень
v³/u*(v+u)= u³/v(u+v)  так как u+v уже корень делим на него и получаем
v³/u=u³/v
(v⁴-u⁴)uv=0
(v²-u²)(v²+u²)=0 v²+u²=0 действительных корней нет
v²-u²=(v-u)(v+u)=0
v=-u уже решили первый корень
v=u
∛(x+4)=∛(x-3)
возводим в куб
x+4=x-3
4=-3 корней нет
Ответ x=-1/2=-0.5