Question

Найдите все значение a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.
$\frac{x-2a}{x+2} + \frac{x-1}{x-a} =1$
Решить с объяснениями)

Answer 1

$\frac{x-2a}{x+2}+ \frac{x-1}{x-a} =1|\cdot ((x+2)(x-a)\ne0)$

$(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)=(x+2)(x-a)\\ \\ x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2=x^2-ax+2x-2a\\ \\ x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2=0$

Решим квадратное уравнение относительно х

$D=b^2-4ac= 4a^2+4a+1-8a^2-8a+8=-4a^2-4a+9$

$x_{1,2}= \dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2}$

Это квадратное уравнение будет иметь 2 корня.

Найдем ОДЗ уравнения: $\displaystyle \left \{ {{x+2\ne 0} \atop {x-a\ne 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x\ne-2} \atop {x\ne a}} \right.$

Подставим теперь в корень квадратного уравнения

$-2=\dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2} \\ \\ -4=2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} \\\\ -5-2a=\pm \sqrt{-4a^2-4a+9}$

Сразу говорю, что $-5-2a=-\sqrt{-4a^2-4a+9}$, если брать с "+", то уравнение решений не будет иметь
$2a+5=\sqrt{-4a^2-4a+9}$
Возведем обе уравнения в квадрат
$4a^2+20a+25=-4a^2-4a+9\\ 8a^2+24a+16=0|:8\\ \\ a^2+3a+2=0$

По т. Виета: $a_1=-2;\,\,\,\,\, a_2=-1$

Теперь если х=а

$\dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2}=a\\ \\ 2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9 }=2a \\ \\ \pm\sqrt{-4a^2-4a+9}=-1$

С "+" аналогично тоже решений не будет

$-\sqrt{-4a^2-4a+9}=-1\\ \\ \sqrt{-4a^2-4a+9}=1\\ \\ -4a^2-4a+9=1\\ \\ 4a^2+4a-8=0|:4\\ \\ a^2+a-2=0$

По т. Виета: $a_3=-2;\,\,\,\, a_4=1$

Еще учтем, что когда D=0, то квадратное уравнение имеет один единственный корень

$-4a^2-4a+9=0\\ 4a^2+4a-9=0\\ D=16+16\cdot9=160\\ \\ a_{5,6}= \dfrac{-4\pm4 \sqrt{10} }{8} = \dfrac{-1\pm \sqrt{10} }{2}$

Ответ: $-2;\,\,\, \pm1;$  $\dfrac{-1\pm \sqrt{10} }{2} .$