Question

вес тела на полюсе планеты, имеющей форму шара, на 13% превышает вес на экваторе. Если планета делает один оборот вокруг своей оси за T=3,5×10^4 с, то плотность планеты равна?

Answer 1

Для нахождение плотности нам понадобятся 4-е формулы:
1) Формула силы притяжения
2) Формула центростремительной силы
3) Формула, связывающая линейную скорость и угловую.
4) Формула нахождения угловой скорости по периоду.
Итак, приступим:
Известно, что сила тяжести на полюсе равна силе тяжести на экваторе плюс центростремительной силе, которая делает предмет легче. Обозначим за M - массу планеты, за R - радиус планеты, за G - гравитационную постоянную, за m - массу тела, за U - скорость вращения планеты на её поверхности. Теперь составим алгебраическое уравнение:
G*M*m/R^2 = 0.87*G*M*m/R^2 + m*U^2/R; Сразу сократим m и вычислим U: U = wR, где w - угловая скорость.
Вычислим w: w = 2*pi/T; Подставим в уравнение: U = 2*pi*R/T; Подставим в общее уравнение(помните, мы сократили m): G*M/R^2 = 0.87*G*M/R^2 + (4*pi^2*R^2)/(R*T^2) -> (R сокращаются) -> GM/R^2 = 0.87GM/R^2 + 4pi^2*R/T^2; Отсюда:
0.13GM/R^2 = 4pi^2*R/T^2. Приведём уравнение к виду:
0.13GMT^2 = 4pi^2*R^3. Поделим обе части на 3pi:
0.13GMT^2/3pi = 4*pi*R^3/3. Правая часть уравнения напоминает формулу объёма шара. Заменим её на V, тогда:
0.13GMT^2/3pi = V; 3pi*V = 0.13GMT^2. Как нам известно плотность - это масса делённая на объём: p = M/V; Выведем её из формулы:
p = M/V = 0.13GT^2/3pi. Все величины известны, поэтому найдём плотность: p = 0.13 * 6.67408 * 10^(-11) * 35000^2 / (3 * 3.14) =(примерно) 0.0011277 кг/м3.
Получается это какой-то газовый гигант.