Question

помогите решить. полтора часа сижу с ней, никак не идет. нужно срочно объяснить.
P.S. высота EH уходит за пределы треугольника. Поэтому и биссектриса CF пересекается с данной высотой за пределами треугольника.

Answer 1

По свойству биссектрисы треугольника
CD:CE = DF:FE = 2:1  ⇒  CE = 2CD
CG - биссектриса ΔCHE и по тому же свойству
CH:CE = HG:GE = 4:5

Получаем систему
CH:CE = HG:GE = 4:5
CE = 2CD

(CD + 3/2):CE = 4:5
CE = 2CD

4CE = 5CD + 15/2
CE = 2CD

8CD = 5CD + 15/2
3CD = 15/2
CD = 5/2
CE = 5

ΔCHE: cosC = CH/CE = 4/5
ΔCDE по теореме косинусов:
DE = √(25/4 + 25 - 2·5/2·5·4/5) = √(125/4 - 20) = √(45/4) = 3√5/2
Учитывая, что EF/FD = 2/1:  FD = √5/2,  FE = √5

cos(C/2) = √((1 +cosC)/2) = √(9/10) = 3/√10
sin(C/2) = √(1 - cos²(C/2)) = 1/√10

ΔCFE:
R = EF/(2sin∠FCE) = √5 / (2/√10) = 5√2/2

Answer 2

Я позволю себе выложить здесь оформленное решение задачи, которое дано в комментариях. Данное решение, на мой взгляд, заслуживает большего предпочтения.