Пятый член геометрической прогрессии равен 48. Каким должен быть знаменатель этой прогрессии, чтобы сумма третьего и четвёртого членов была наименьшей?
С подробным решением, если можно)
Аноним:
q= -2 ???
Ответы
Ответ дал:
2
n-ый член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
![b_n=b_1\cdot q^{n-1} b_n=b_1\cdot q^{n-1}](https://tex.z-dn.net/?f=b_n%3Db_1%5Ccdot+q%5E%7Bn-1%7D)
Пользуясь этой формулой, получим:
откуда ![b_1= \dfrac{48}{q^4} b_1= \dfrac{48}{q^4}](https://tex.z-dn.net/?f=b_1%3D+%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E4%7D+)
По условию:
- наименьшее
![b_1=\dfrac{48}{q^4} ;\,\,\,\, b_1q^2+b_1q^3=\dfrac{48}{q^4} \cdot q^2+\dfrac{48}{q^4} \cdot q^3=\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q} b_1=\dfrac{48}{q^4} ;\,\,\,\, b_1q^2+b_1q^3=\dfrac{48}{q^4} \cdot q^2+\dfrac{48}{q^4} \cdot q^3=\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q}](https://tex.z-dn.net/?f=b_1%3D%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E4%7D+%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+b_1q%5E2%2Bb_1q%5E3%3D%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E4%7D+%5Ccdot+q%5E2%2B%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E4%7D+%5Ccdot+q%5E3%3D%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E2%7D+%2B%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%7D+)
Рассмотрим функцию![f(q)=\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q} f(q)=\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28q%29%3D%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E2%7D+%2B%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%7D+)
Производная этой функции:
![f'(q)=\bigg(\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q} \bigg)'=- \dfrac{96}{q^3} -\dfrac{48}{q^2} f'(q)=\bigg(\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q} \bigg)'=- \dfrac{96}{q^3} -\dfrac{48}{q^2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28q%29%3D%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E2%7D+%2B%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%7D+%5Cbigg%29%27%3D-+%5Cdfrac%7B96%7D%7Bq%5E3%7D+-%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E2%7D+)
Приравниваем производную функции к нулю
![- \dfrac{96}{q^3} -\dfrac{48}{q^2} =0\,\, |\cdot q^3\\ \\ -96-48q=0\\ \\ q=-2 - \dfrac{96}{q^3} -\dfrac{48}{q^2} =0\,\, |\cdot q^3\\ \\ -96-48q=0\\ \\ q=-2](https://tex.z-dn.net/?f=-+%5Cdfrac%7B96%7D%7Bq%5E3%7D+-%5Cdfrac%7B48%7D%7Bq%5E2%7D+%3D0%5C%2C%5C%2C+%7C%5Ccdot+q%5E3%5C%5C+%5C%5C+-96-48q%3D0%5C%5C+%5C%5C+q%3D-2)
____-__(-2)___+___
В точке q=-2 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, q=-2 - точка минимума.
Ответ: q=-2
Пользуясь этой формулой, получим:
По условию:
Рассмотрим функцию
Производная этой функции:
Приравниваем производную функции к нулю
____-__(-2)___+___
В точке q=-2 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, q=-2 - точка минимума.
Ответ: q=-2
Вас заинтересует
4 месяца назад
4 месяца назад
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад
7 лет назад