Question

Пятый член геометрической прогрессии равен 48. Каким должен быть знаменатель этой прогрессии, чтобы сумма третьего и четвёртого членов была наименьшей?
С подробным решением, если можно)

Answer 1

n-ый член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
   $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Пользуясь этой формулой, получим:

$b_5=b_1q^4=48$ откуда $b_1= \dfrac{48}{q^4}$

По условию: $b_3+b_4=b_1q^2+b_1q^3$ - наименьшее

$b_1=\dfrac{48}{q^4} ;\,\,\,\, b_1q^2+b_1q^3=\dfrac{48}{q^4} \cdot q^2+\dfrac{48}{q^4} \cdot q^3=\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q}$

Рассмотрим функцию $f(q)=\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q}$

Производная этой функции:
 $f'(q)=\bigg(\dfrac{48}{q^2} +\dfrac{48}{q} \bigg)'=- \dfrac{96}{q^3} -\dfrac{48}{q^2}$

Приравниваем производную функции к нулю

$- \dfrac{96}{q^3} -\dfrac{48}{q^2} =0\,\, |\cdot q^3\\ \\ -96-48q=0\\ \\ q=-2$

____-__(-2)___+___
В точке q=-2 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, q=-2 - точка минимума.


Ответ: q=-2