Question

Из точки L проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке А, а вторая пересекает окружность в точках B и С . Точка B между L и С.
Через точку А проведена прямая параллельная BC, которая пересекает окружность в точке D.
Прямая СD пересекается с АL в точке K.
Площадь треугольника KAD равна 10.
CD=5
AK=5√2
Найти площадь треугольника KCL.

Answer 1

Рассмотрим ΔKAD.
По теореме о квадрате касательной получаем:
$AK = \sqrt{KC \cdot KD}$
Пусть KD = x.
Тогда получим уравнение:
$(5 \sqrt{2})^2 = (x + 5)x \\ 50 = x^2 + 5x \\ x^2 + 5x - 50 = 0 \\ \\ x_1 + x_2 = -5 \\ x_2 \cdot x_2 = -50 \\ \\ x_1 = -10 \\ x_2 = 5$
Значит, $KD = DC = 5$.
Тогда AD - средняя линия ΔKAC.
Раз AD - средняя линия, то ΔKAD ~  ΔKLC (без разницы, по какому признаку). 
Из подобия треугольников следует:
$\dfrac{S_{KAD}}{S_{KLC}} =\bigg ( \dfrac{KD}{KC} \bigg )^2 = \dfrac{25}{100} = 0,25 \\ \\ S_{KAD} = 10 =\ \textgreater \ S_{KCL} = 4S_{KAD} = 40.$
Ответ: $S_{KCL} = 40.$