Question

Представьте многочлен x^4 +3x^2 +4 в виде произведения двух многочленов степени меньше 4 с целыми коэффициентами

Answer 1

Если м раскладываем многочлен на скобки, то:
x^4 + 3x^2 + 4 = (x^2 + a1*x + b1)(x^2 + a2*x + b2)
Проверяем по методу неопределенных коэффициентов
(x^2 + a1*x + b1)(x^2 + a2*x + b2) = x^4 + a1*x^3 + b1*x^2 + a2*x^3 + a1*a2*x^2 + b1*a2*x + b2*x^2 + a1*b2*x + b1*b2 = x^4 + 3x^2 + 4 =
= x^4 + (a1+a2)x^3 + (b1+a1*a2+b2)x^2 + (b1*a2+a1*b2)x + b1*b2
Составляем систему по коэффициентам
{ x^4: 1 = 1
{ x^3: a1+a2 = 0
{ x^2: b1+a1*a2+b2 = 3
{ x : b1*a2+a1*b2 = 0
{ 1 : b1*b2 = 4
Решаем эту систему
{ a2 = -a1
{ b1 + b2 - a1^2 = 3
{ a1(b2 - b1) = 0
{ b1*b2 = 4
Из 3 уравнения:
1) a1 = a2 = 0, тогда b1 + b2 = 3,
b2 = 3 - b1
Подставляем в 4 уравнение
b1*(3 - b1) = 4
b1^2 - 3b1 + 4 = 0 - это уравнение не имеет решений.

2) b1 = b2 = 2
b1 + b2 - a1^2 = 3
2 + 2 - a1^2 = 3
a1^2 = 4 - 3 = 1
a1 = -1; a2 = 1
Или a1 = 1; a2 = -1
(x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2) = x^4 + 3x^2 + 4 - подходит

3) b1 = b2 = -2
b1 + b2 - a1^2 = -4 - a1^2 = 3
a1^2 = -7 - решений нет.

Ответ: (x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)