Question

матанализ. помогите, пожалуйста-а-а

Answer 1

Строим в полярных координатах, во!

$\displaystyle x = R\cos\varphi\\ y = R\sin\varphi\\\\ \sqrt[n]{|x|^n+|y|^n} = R\sqrt[n]{|\cos\varphi|^n+|\sin\varphi|^n}$

Будем анализировать первую координатную четверть, так как достаточно очевидно что кривулька будет симметрична относительно обеих осей (замена х на минус х или у на минус у ни на что не влияет)

Поэтому косинус и синус считаем положительными

$\displaystyle R\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = 1\\\\ R(\varphi) = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi}}$

На самом деле замена y и x местами тоже ничего не меняет, поэтому мы даже ограничимся рассмотрением только половинки первой координатной четверти, в которой фи от 0 до пи/4. Потом мы получившийся огрызок кривой отразим относительно биссектрисы первого квадранта: если точка (x,y) подходит, то и точка (y,x) подойдет

Будем кусать предел

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = \cos\varphi\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+\tan^n\varphi}$

Тангенс фи меньше 1 (фи меньше пи на 4), подкоренное выражение устремится к единице (сверху) и извлекание из этого числа корней огромной степени только устремит все к единице. Если фи равен пи на 4, подкоренное выражение всегда двойка, но и из нее при извлечении корня огромной степени выйдет единичка. Поэтому весь последний предел (в половинке первой четверти) стремится единичке, умножается на косинус фи и в итоге при фи от нуля до пи на 4 мы получаем следующую фишку

$\displaystyle \varphi \in [0;\pi/4]\\ \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = \cos\varphi\\\\ R(\varphi) = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi}} = \frac{1}{\cos\varphi}\\\\ x(\varphi) = R\cos\varphi = 1\\ y(\varphi) = R\sin\varphi = \tan\varphi$

Итак, ставим карандашик на ось икс, на расстоянии 1 от начала координат и начинаем увеличивать фи от 0 до пи на 4. Икс так и останется на месте, а у поползет вверх и доползет до единички. Получилась вертикальная палочка. Теперь мы отразим ее относительно биссектрисы первого квадранта и получим горизонтальную палочку от точки (0;1) до точки (1;1). Получился уголочек. После этого отражаем уголочек относительно Ox и Oy

После тонны мучений мы получили, что все x и y, удовлетворяющие условию лежат на границе квадрата со стороной 2, центр которого находится в начале координат, а стороны которого параллельны осям

Это КВАДРАТИК!