Question

$25^{lgx} = 5 + 4x^{lg5}$ - средняя сложность, 11 класс.

Answer 1

$x^{lg5} = x^{log_{10}5}$
приведем к новому основанию по свойству логарифма:
$log_{a}B = \frac{log_{c}A}{log{c}B}$
$x^{log_{10}5} = x^{ \frac{log _{x}5}{log _{x}10} } =(x^{log_{x}5})^{ \frac{1}{log_{x}10}$
опять таки по свойствам логарифмов у нас получаются сразу несколько приятных преобразований:
1. $x^{log_{x}B} = B$
2. $\frac{1}{log_{c}B} = log_{b}C$
$(x^{log_{x}5})^{ \frac{1}{log_{x}10} } = 5^{ \frac{1}{log_{x}10} = 5^{log_{10}x} }= 5^{lgx}$
получаем:
$25^{lgx} = 5+4*5^{lgx}$
$25^{lgx} = (5^2)^{lgx} = 5^{2lgx}$
$5^{2lgx} - 4*5^{lgx} - 5 = 0$
вводим новую переменную $5^{lgx}=a$ и решаем квадратное уравнение:
$a^2-4a-5=0$
$D = 16+20=6^2$
$a_{1}=5$
$a_{2} = -1$

делаем обратную замену:
$5^{lgx} = 5$
$5^{lgx} = -1$ -это невозможно, а из первого уравнения получаем последовательно:
$5^{lgx} = 5^1$
$lgx=1$
$x = 10$
ответ: $x = 10$