Question

Докажите, что любое натуральное число представимо в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа.

Answer 1

Надо доказать, что для любого натурального n можно найти натуральные A и B$n = A^2/B^3$, такие что

Заметим, что число n допускает единственное разложение по степеням простых чисел:

$\displaystyle n = p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_z^{m_z}$

Где $p_k$ - неповторяющиеся простые числа. Построим числа A и B по следующему алгоритму. Примем сначала A=B=1. Для каждого k-го множителя в разложении числа n есть два варианта.

1) если степень $m_k$ четная, домножим число A на $p_k^{m_k/2}$. Тогда числитель A^2 будет содержать множитель $p_k^{m_k}$, а так как знаменатель B^3 не содержит такого множителя, частное будет тоже содержать множитель $p_k^{m_k}$

2) если степень $m_k$ нечетная, домножим A на $p_k^{(m_k+3)/2}$, а B домножим на $p_k$. Тогда легко видеть, что отношение A^2 к B^3 будет содержать $p_k$ в степени $2(m_k+3)/2-3 = m_k$, что нам и надо

Действуя таким образом, мы построим нужные нам числа A и B