Докажите, что любое натуральное число представимо в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа.
Ответы
Ответ дал:
1
Надо доказать, что для любого натурального n можно найти натуральные A и B
, такие что
Заметим, что число n допускает единственное разложение по степеням простых чисел:
![\displaystyle
n = p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_z^{m_z} \displaystyle
n = p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_z^{m_z}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0An+%3D+p_1%5E%7Bm_1%7Dp_2%5E%7Bm_2%7D...p_z%5E%7Bm_z%7D)
Где
- неповторяющиеся простые числа. Построим числа A и B по следующему алгоритму. Примем сначала A=B=1. Для каждого k-го множителя в разложении числа n есть два варианта.
1) если степень
четная, домножим число A на
. Тогда числитель A^2 будет содержать множитель
, а так как знаменатель B^3 не содержит такого множителя, частное будет тоже содержать множитель ![p_k^{m_k} p_k^{m_k}](https://tex.z-dn.net/?f=p_k%5E%7Bm_k%7D)
2) если степень
нечетная, домножим A на
, а B домножим на
. Тогда легко видеть, что отношение A^2 к B^3 будет содержать
в степени
, что нам и надо
Действуя таким образом, мы построим нужные нам числа A и B
Заметим, что число n допускает единственное разложение по степеням простых чисел:
Где
1) если степень
2) если степень
Действуя таким образом, мы построим нужные нам числа A и B
Вас заинтересует
4 месяца назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад