Question

$lim_{x to frac{p}{2}} sinx^{tgx}$ Задание повышенной сложности, 11 класс. Решить в рамках школьной программы, правило Лопиталя использовать нельзя.

Answer 1

Подставив вместо х=п/2, получим $1^{infty}$. Если неопределенность $1^{infty}$, то работаем всегда со вторым замечательным пределом $displaystyle lim_{xto0} (1+x)^{ frac{1}{x} }=e$
$displaystyle lim_{xto frac{pi}{2} }sin x^{tgx}=e^big{lim_{xto frac{pi}{2} }tg xlnsin x}=e^big{lim_{xto frac{pi}{2} } frac{sin xln sin x}{cos x} }=\ \ \ =e^big{lim_{xto frac{pi}{2} } frac{(sin x-1)ln (1+sin x-1)}{cos xcdot( sin x-1)} }=e^big{lim_{xto frac{pi}{2} } frac{sin x-1}{cos x} }=\ \ =e^big{lim_{xto frac{pi}{2} } frac{cos x(sin x-1)}{cos^2x} }=e^big{lim_{xto frac{pi}{2} } frac{cos x(sin x-1)}{-(sin x-1)(sin x+1)} }=e^0=1$