Question

Помогите решить уравнение $x sqrt{6-x} +2 sqrt{x+2} = sqrt{8}* sqrt{x^2+4}$

Answer 1

$underbrace{x}_{x_1}underbrace{ sqrt{6-x} }_{y_1}+underbrace{2}_{x_2}underbrace{ sqrt{x+2} }_{y_2}= sqrt{8}cdot sqrt{x^2+4}$
ОДЗ:$displaystyle left { {{6-x geq 0} atop {x+2 geq 0}} right. Rightarrow left { {{x leq 6} atop {x geq -2}} right. Rightarrow,,, x in[-2;6].$
Используя неравенство Коши-Буняковского, получим:
$x sqrt{6-x} +2 sqrt{x+2} leq sqrt{x^2+2^2} sqrt{(6-x)+(x+2)}= sqrt{8} cdotsqrt{x^2+4}$
В неравенство Коши-Буняковского имеет место знак равенство, когда $x_1,x_2$ есть пропорциональным к $y_1,y_2$

$displaystyle left { {{x=2gamma} atop { sqrt{6-x}=gamma sqrt{x+2} }} right. Rightarrow left { {{x=2gamma} atop {6-x=gamma^2(x+2)}} right. Rightarrow left { {{x=2gamma} atop {6-2gamma=gamma^2(2gamma+2)}} right. \\gamma^3+gamma^2+gamma-3=0$
Подбором находим корень, это $gamma=1$. Решая по схеме Горнера, получим разложение $(gamma-1)(gamma^2+2gamma+3)=0$
Уравнение $gamma^2+2gamma+3=0$ действительных корней не имеет, т.к. D<0.

Поскольку $gamma=1$, то $x=2gamma=2cdot1=2$. Убеждаемся подстановкой, что корень х=2 является решением данного уравнения.

Ответ: 2.

Answer 2

Ну вы же не для себя решаете,я вас попросила подсказать как в школе решать

Answer 3

Через производную

Answer 4

У Вас описка при поиске модуля (y_1;y_2) - там нет квадратов

Answer 5

По поводу неравенства Коши-Буняковского (и в защиту автора решения): в школе проходят скалярное произведение: (a;b)=|a|*|b|*cos угла между ними. Отсюда |(a;b)|<=|a|*|b|, а это и есть неравенство Коши-Буняковского. В координатах это дает |a_1b_1+a_2b_2|<=корень(a_1^2+a_2^2)*корень(b_1^2+b_2^2)

Answer 6

Неравенство Коши в школе проходят. Мы в 8 классе проходили, когда была тема "Доказательство неравенств".