Question

В треугольнике ABC известны стороны AB=3, AC=6 и угол ∠BAC=60∘. Найдите радиус описанной окружности треугольника.

Answer 1

Найдём по теореме косинусов сторону BC:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 cosBAC \cdot AB \cdot AC} = \sqrt{9 + 36 - 2 \cdot 0,5 \cdot 3 \cdot 6} = \\ \\ \sqrt{45 - 18} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$

По обобщённой теореме синусов:
2R = BC/sinA
sin60° = √3/2
R = BC/2sinA
$R = \dfrac{3 \sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{2} } = \dfrac{3 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = 3$

P.s: можно по-другому.
По обратной теореме Пифагора данный треугольник является прямоугольным.
AC - его гипотенуза.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы ⇒ R = 0,5AC = 3.

Ответ: R = 3. 

Answer 2

R=AB*BC*AC/4S
BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cos<BAC=9+36-2*3*6*1/2=45-18=27
BC=3√3
S=1/2*AB*AC*sin<BAC=1/2*3*6*√3/2=9√3/2
R=(3*6*3√3)/(4*9√3/2)=54√3/18√3=3