Question

$1) lim_{x to -2} frac{ sqrt{x+3} -1}{ x^{2} -4} 2) lim_{n to infty} (frac{n^2+2n+1}{n^2-n+2})^- frac{n}{3} 3) lim_{x to 0} frac{Ln(1+ x^{2} )}{ e-^{x2}-1 } 4) lim_{x to infty} frac{ x^{2}+3x+1 }{1+x sqrt{x} +2 sqrt{x^4} }$

Answer 1

1) Умножим числитель и знаменатель на $sqrt{x+3}+1$
$lim_{x to inft-2} frac{(sqrt{x+3}-1)*(sqrt{x+3}+1)}{(x^{2} -4)*(sqrt{x+3}+1)} = lim_{x to inft-2} frac{x+2}{(x+2)*(x-2)*(sqrt{x+3}+1)} = =lim_{x to inft-2}frac{1}{(x-2)*(sqrt{x+3}+1)}=frac{1}{(-2-2)*( sqrt{-2+3}+1 )} =- frac{1}{8}$

2) Числитель и знаменатель первой дроби разделим на n²
$lim_{n to infty} frac{ n^{2}+2n+1 }{n^{2}-n+2}- frac{n}{3} = lim_{n to infty} frac{1+ frac{2}{n}+ frac{1}{n^{2}}}{1- frac{1}{n}+ frac{2}{n}} - frac{n}{3} =$
=$frac{1+ frac{2}{oo}+ frac{1}{oo^{2}}}{1- frac{1}{oo}+ frac{2}{oo}} - frac{oo}{3}=1-oo=-oo$

3) Числитель и знаменатель умножим на $e^{ x^{2} }$
$lim_{x to inft0} frac{ e^{ x^{2}}*ln(1+ x^{2} )}{ e^{ x^{2}}*( e^{ -x^{2}}-1 )} = lim_{x to inft0} e^{ x^{2}}*lim_{x to inft0} frac{ln(1+x^{2})}{(1- e^{ x^{2}})} = =1*lim_{x to inft0} - frac{ln(1+ x^{2} )}{ e^{ x^{2} -1}} = -lim_{x to inft0} frac{ frac{ln(1+ x^{2})}{x^{2}}} { frac{( e^{ x^{2}}-1 )}{x^{2}}} =$
=$- frac{lim_{x to inft0} frac{ln(1+ x^{2})}{ x^{2} } } {lim_{x to inft0} frac{( e^{ x^{2} }-1 )}{ x^{2} } } =- frac{1}{1} =-1$
Разделив числитель и знаменатель ещё на x², привели к следствиям второго замечательного предела.

4) Числитель и знаменатель делим на x²
$lim_{x to infty} frac{1+ frac{3}{x}+ frac{1}{ x^{2} }} { frac{1}{ x^{2} } + frac{1}{ sqrt{x}}+2} = frac{1+ frac{3}{oo}+ frac{1}{ oo^{2} }} { frac{1}{ oo^{2} } + frac{1}{ sqrt{oo}}+2}= frac{1}{2}$