Question

Расставьте знаки препинания и расспишите, пожалуйста, почему здесь ставится запятая.

Answer 1

1,2 - запятые ставим ,так как они выделяют придаточное  изъяснительное предложение ( что желает переговорить с ней)
4,5- ставим ,потому что вытделяем ещё одно придаточное опред . ( что она не хочет говорить с ним )
6 - запятую ставим ,так как отделяем придаточное определительное ( о которой он заявлял Конятовскому ,Полистову и  другим)
Запятая № 3 не ставится ,потому что  есть союз ТО ( смотри перед пятой запятой , он не дает возможности отделить прид. времени с союзом когда)
Думаю,так.

Answer 2

Он заявил,(1) что желает переговорить с ней, (2) и (3) когда получил уклончивый, даже дерзкий ответ, (4) что она не хочет с ним говорить, (5) то ему пришла в голову давно задуманная мысль, (6) о которой он заявлял Конятовскому, Полиектову и другим.

1) запятая перед косвенной речью (или же между главным и придаточным)).  
Он заявил (слова автора (главное)),(1) что желает переговорить с ней (чужие слова в форме придаточного).

2) запятая между двумя сложноподчинёнными предложениями.
Он заявил, что желает переговорить с ней, (2) и когда получил уклончивый, даже дерзкий ответ, что она не хочет с ним говорить, то ему пришла в голову давно задуманная мысль, о которой он заявлял Конятовскому, Полиектову и другим.

3) запятая не нужна,

4) запятая перед косвенной речью (или же между главным и придаточным)).  
...получил уклончивый, даже дерзкий ответ (Слова автора (главное), (4) что она не хочет с ним говорить (чужие слова в форме придаточного),

5) запятая между главным и придаточным в сложноподчинённом предложении.
…когда получил уклончивый, даже дерзкий ответ, что она не хочет с ним говорить (главное), (5) то ему пришла в голову давно задуманная мысль (придаточное)…

6) запятая между главным и придаточным предложением в сложноподчинённом предложении.
…ему пришла в голову давно задуманная мысль (главное), (6) о которой он заявлял Конятовскому, Полиектову и другим (придаточное).