Question

Срочно!Помогите! Найти проекцию Р(-7;11) на прямую,которая проходит через точку А(3;-4) и B(-4;0)
B:(-11;4)

Answer 1

Уравнение прямой: y = kx + b. k - угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона этой прямой (относительно оси координат).

У первой прямой есть наклон на определенный угол. Тангенс этого угла равен k. Если вторая прямая перпендикулярна первой, то угол её наклона относительно оси координат будет на 90 градусов больше - просто по определению перпендикулярности. Тангенс угла+90 градусов = равно минус котангенс этого угла (см. формулы приведения). То есть если тангенс первой был равен k, то тангенс перпендикулярной ей прямой будет (-1/k).

Первая прямая - это прямая, проходящая через точки A и B. Запишем уравнение первой прямой в виде y=kx+b.

$k_1=cfrac{y_a-y_b}{x_a-x_b}=cfrac{-4-0}{3-(-4)}=-cfrac{4}{7}$

Чтобы получить b, надо в уравнение подставить координаты любой из двух точек (например, B):

$0 = -cfrac{4}{7}cdot (-4)+b_1 \ 0 = cfrac{16}{7} + b_1 \ b_1 = -cfrac{16}{7}$

Вторая прямая это прямая, перпендикулярная первой (проекция же) и проходящая через точку P. Запишем её уравнение. Причем её угловой коэффициент уже известен и равен -1/k. Осталось найти её b, для чего подставим туда координаты точки, через которую она проходит (точка P).

$11 = -cfrac{1}{k} cdot (-7) + b_2 = cfrac{7}{-frac{4}{7}}+b_2 \ b_2 = 11+cfrac{49}{4} = cfrac{44+49}{4} = cfrac{93}{4}$

Искомая точка - точка пересечения первой и второй прямых. То есть её координаты принадлежат обоим уравнениям одновременно. А значит можно записать систему из двух уравнений:

$left { {{y=k_1x + b_1} atop {y=k_2x+b_2}} right.$

приравниваем правые части, чтобы найти x искомой точки:

$<span>k_1x+b_1=k_2x+b_2 \ (k_1-k_2)x=b_2-b_1 \ </span><span>(-cfrac{4}{7}-cfrac{7}{4})x=cfrac{93}{4}-(-cfrac{16}{7}) \ -cfrac{65}{28} cdot x=cfrac{715}{28}</span>$

$-65x=715 \ x = -11$

чтобы найти y искомой точки надо подставить x=-11 в любое из уравнений прямых (точка пересечения принадлежит обеим прямым).

$y = -cfrac{4}{7}cdot x - cfrac{16}{7} = cfrac{-4cdot (-11) - 16}{7}=cfrac{44-16}{7}=cfrac{28}{7}=4$

ответ (-11;4)