Question

Диф. уравнение 2 порядка. Решите пожалуйста)

Answer 1

 Метод вариации произвольных постоянных

Answer 2

Т.к. функции справа не являются стандартными будет использовать метод вариации постоянной.
$y''-6y'+10y=frac{e^{3x}}{sinx}\lambda^2-6lambda+10=0\lambda_{1,2}=3^+_-i\Y=e^{3x}(C_1cosx+C_2sinx)\C_1=C_1(x) ;C_2=C_2(x)\Y=e^{3x}(C_1(x)cosx+C_2(x)sinx)=e^{3x}C_1(x)cosx+e^{3x}C_2(x)sinx\begin{cases}C_1'(x)e^{3x}cosx+C_2'(x)e^{3x}sinx=0\C_1'(x)e^{3x}(3cosx-sinx)+C_2'(x)e^{3x}(3sinx+cosx)=frac{e^{3x}}{sinx}end{cases}|:e^{3x}\ begin{cases}C_1'(x)cosx+C_2'(x)sinx=0\C_1'(x)(3cosx-sinx)+C_2'(x)(3sinx+cosx)=frac{1}{sinx}end{cases}$

$W=left[begin{array}{cc}cosx&sinx\3cosx-sinx&3sinx+cosxend{array}right] =\=3sinxcosx+cos^2x-3sinxcosx+sin^2x=1$
Определитель Вронского не равен 0 а значит имеется единственное решение.
$W_1=left[begin{array}{cc}0&sinx\frac{1}{sinx}&3sinx+cosxend{array}right]=-1\W_2=left[begin{array}{cc}cosx&0\3cosx-sinx&frac{1}{sinx}end{array}right]=ctgx\C_1'=frac{W_1}{W}=-1 ;C_2'=frac{W_2}{W}=ctgx\C_1=-int dx=-x+hat{C_1}\C_2=int ctgxdx=intfrac{cosxdx}{sinx}=intfrac{d(sinx)}{sinx}=ln|sinx|+hat{C_2}\y=e^{3x}((-x+hat{C_1})cosx+(ln|sinx|+hat{C_2})sinx)$