Question

известно что tga и tg3a целые найдите все возможные значения tga

Answer 1

Сначала выразим tg(3a) через tg(a)
$tg(2a)= frac{2tg(a)}{1-tg^2(a)}$
$tg(3a)=tg(a+2a)= frac{tg(a)+tg(2a)}{1-tg(a)*tg(2a)} = frac{tg(a)+2tg(a)/(1-tg^2(a))}{1-tg(a)*2tg(a)/(1-tg^2(a))} =$
$=frac{tg(a)(1-tg^2(a))+2tg(a)}{1-tg^2(a)-tg(a)*2tg(a)} =frac{tg(a)-tg^3(a)+2tg(a)}{1-tg^2(a)-2tg^2(a)}=tg(a)* frac{3-tg^2(a)}{1-3tg^2(a)}$
Получили
$tg(3a)=tg(a)* frac{3-tg^2(a)}{1-3tg^2(a)}$
Мы знаем, что tg(a) - целое. Если tg(3a) тоже целое, то
3-tg^2(a) делится нацело на 1-3tg^2(a).

Ясно, что при tg a = 0 будет tg 3a = 0
Далее, например, при tg(a) = 1 получаем
tg(3a) = 1*(3 - 1)/(1 - 3)= 1*2/(-2) = -1
А при tg(a) = -1 получаем
tg(3a) = -1*(3 - 1)/(1 - 3) = (-1)*2/(-2) = 1
Но уже при tg(a) = 2 мы получаем
tg(3a) = 2*(3 - 4)/(1 - 3*4) = 2*(-1)/(-11) = 2/11
Соответственно, при tg(a) = -2 мы получим tg(3a) = -2/11.
Это уже нецелые значения, и ни при каких других а целых не будет.
Ответ: (0; 0); (1; -1); (-1; 1)