Question

Помогите, пожалуйста!!! При каком натуральном n найдутся n разных натуральных чисел... задание на фото

Answer 1

Очевидно, никакое из s_i не равно 1 (иначе произведение равно 0). То есть, min s_i=2
Так как $f(k)=1- frac{1}{k}$ возрастающая функция и все s_i - различны, то 
$P_n=(1- frac{1}{s_1} )(1- frac{1}{s_2} )...(1- frac{1}{s_n} ) geq (1- frac{1}{2} )(1- frac{1}{3} )...(1- frac{1}{n+1} ) =$
$=frac{1}{2} )( frac{2}{3} )...( frac{n}{n+1} ) = frac{1}{n+1}$
$frac{1}{9} = frac{7}{63} textgreater frac{7}{66} textgreater frac{7}{70} =frac{1}{10}$
Значит, $frac{1}{n+1} leq frac{1}{10} , n geq 9$ (иначе Pn≥1/9, что неверно).
То есть, минимально возможное n - 9.
Осталось показать, что n=9 достижимо.
Это достаточно просто:
Берем первые 8 чисел с 2 по 9. s_1=2, s_2=3,...,s_8=9. 
Как показано выше, заданное произведение для них равно 1/9=7/63.
Чтобы получить дробь 7/66 это произведение нужно домножить на 63/66=21/22. Соответственно, взяв в качестве s_9=22 (а 1-1/s_9=21/22),
получаем искомое.