Question

подробнее решить систему уравнений
logy(x)-3logx(y)=2
log2(x)=4-log2(y)

Answer 1

$left { {{log_yx-3*log_xy=2} atop {log_2x=4-log_2y}} right.$

ОДЗ: 
$x textgreater 0,$   $y textgreater 0$
$x neq 1,$   $y neq 1$

Решим отдельно первое уравнение системы:

${log_yx-3*log_xy=2$

${log_yx- frac{3}{log_yx} =2$

Замена:  ${log_yx=t$

$t+ frac{3}{t} =2$

$t+ frac{3}{t} -2=0$   $t neq 0$

$t^2-2t-3=0$

$D=(-2)^2-4*1*(-3)=16$

$t_1= frac{2+4}{2}=3$

$t_2= frac{2-4}{2}=-1$

$log_yx=3$          или       $log_yx=-1$

$x=y^3$               или       $x= frac{1}{y}$


Возвращаемся к системе уравнений:

$left { {{log_2x=4-log_2y} atop {x=y^3}} right.$      или      $left { {{log_2x=4-log_2y} atop {x= frac{1}{y} }} right.$

$left { {{log_2y^3+log_2y=4} atop {x=y^3}} right.$     или     $left { {{log_2 frac{1}{y} +log_2y=4} atop {x= frac{1}{y} }} right.$

$left { {{3log_2y+log_2y=4} atop {x=y^3}} right.$     или     $left { {{-log_2y+log_2y=4} atop {x= frac{1}{y} }} right.$

$left { {{4log_2y=4} atop {x=y^3}} right.$              или     $left { {{0 neq 4} atop {x= frac{1}{y} }} right.$      

$left { {{log_2y=1} atop {x=y^3}} right.$               или      нет решений

$left { {{y=2} atop {x=2^3}} right.$

$left { {{y=2} atop {x=8}} right.$

Ответ:  $(8;2)$