Question

В системе из трехлинейных уравнений
Ax + By + Cz = 0
Dx + Ey + Fz = 0
Gx + Hy + Iz = 0
от трех переменных x, y, z коэффициенты A, E, H положительны, остальные отрицательны, A > |B + C|, E > |D + F|, H > |G + I|
Докажите, что система имеет единственное решение x=y=z

Answer 1

Если в условии действительно H > |G + I|, то утверждение, очевидно, неверно: например, система
3x - y - z = 0
-x + 3y - z = 0
-x + 3y - z = 0
кроме решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).

Если в действительности I > |G + H|, G, H < 0, то утверждение становится верным:
Разделим первое уравнение на A, второе на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты:
x - ay - bz = 0
-cx + y - dz = 0
-ex - fy + z = 0

Исходя из условия a, b, c, d, e, f > 0; a + b < 1, c + d < 1, e + f < 1.

Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим:
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
-(f + ae) y + (1 - be) z = 0

Так как 0 < a, b, c, e < 1, то 1 - ac, f + ae > 0.
Прибавим к третьему  уравнению, домноженному на (1 - ac), второе, домноженное на (f + ae):
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
[(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae)] z = 0

Рассматриваем коэффициент перед z в третьем уравнении:
(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)

Оценим выражение в скобках, учтя, что b < 1 - a, d < 1 - c, f < 1 - e:
ac + be + df + bcf + ade < ac + (1 - a)e + (1 - c)(1 - e) + (1 - a)c(1 - e) + a(1 - c)e = 1.

Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно разделить и получить, что z = 0.
Подставляем z = 0 во второе уравнение и получаем, что y = 0.
Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.

x = y = z = 0, ура.

Answer 2

Упс, действительно H > 0? Тогда в условии ошибка, предлагается доказать неверное утверждение: например, система 4x - y - z = 0, -x + 4y - z = 0, -x + 4y - z = 0 имеет решение (1, 1, 3).

Answer 3

Я об этом допишу в ответ, если мне модераторы помогут его изменить.

Answer 4

не, всё, я узнал, в задании была опечатка, i > 0, да

Answer 5

Объяните пожалуйста, как вы в начале делите поподробнее

Answer 6

Например, второе уравнение делю на Е (так можно, E > 0). Получается D/E x + y + F/E z = 0. После этого обозначаю D/E = -c, F/E = -d, чтобы переменных стало поменьше.