Question

Найдите интегральную кривую уравнения y`` + 9y = 0, которая проходит через точку М(пи; -1) и касается в этой точке прямой y + 1 = x - пи. Пожалуйста, решите самым примитивным способом, т. к. это 11 класс, а не институт. Задача простая, тема - дифуравнения второго порядка.

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное. Осуществив замену Эйлера $y=exp{kx}$, получим следующее характеристическое уравнение
$k^2+9=0;~~~~~Rightarrow~~~~~~~ k=pm3i$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1cos 3x+C_2sin3x$ и проходит через точку М. То есть, подставляя x=π и у=-1, получим

$-1=-C_1;~~~~~Rightarrow~~~ C_1=1$

Найдем первую производную общего решения: $y'=-3C_1sin3x+3C_2cos3x$
Пользуясь геометрическим смыслом производной, имеем, что

$1=-3C_2;~~~~~Rightarrow~~~~ C_2=- frac{1}{3}$


$y=cos3x-frac{1}{3} sin3x$ - искомая интегральная кривая

Answer 2

Что такое производная от касательной? Производная от касательной всегда 1, потому что касательная - это прямая.

Answer 3

Ну или -1.

Answer 4

Мы нашли частное решение, правильно?

Answer 5

нет

Answer 6

да