Question

Найти неопределенный интеграл

Answer 1

$1); ; int frac{sinx, dx}{sqrt[3]{3+2cosx}}=[, t=3+2cosx; ,; dt=-2sinx, dx, ]=\\=-frac{1}{2}int frac{dt}{sqrt[3]{t}} =- frac{1}{2}cdot frac{t^{frac{2}{3}}}{2/3}+C=- frac{3}{4}cdot sqrt[3]{(3+2cosx)^2} +C; ;\\(-frac{3}{4}cdot sqrt[3]{(3+2cosx)^2}+C)'=-frac{3}{4}cdot frac{2}{3}cdot (3+2cosx)^{-frac{1}{3}}cdot (-2sinx)+0=\\=- frac{1}{2}cdot frac{-2sinx}{sqrt[3]{3+2cosx}}= frac{sinx}{ sqrt[3]{3+2cosx} } ; .$

$2); ; int frac{2x^2-3x+1}{x^3+1} =J\\ frac{2x^2-3x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=frac{A}{x+1}+frac{Bx+C}{x^2-x+1}\\2x^2-3x+1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)\\x=-1:; ; A= frac{2+3+1}{1+1+1}=2\\x^2, |; 2=A+B; ,; ; B=2-A=2-2=0\\x; |; -3=-A+B+C\\x^0, |; 1=A+C; ,; ; C=1-A=1-2=-1\\J=int (frac{2}{x+1}-frac{1}{x^2-x+1} )dx=2int frac{dx}{x+1}-int frac{dx}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4}}=\\=2ln|x+1|-frac{2}{sqrt3}cdot arctg frac{2(x-frac{1}{2})}{sqrt3}+C=\\=2ln|x+1|-frac{2}{sqrt3}cdot arctgfrac{2x-1}{sqrt3}+C$

$3); ; int frac{(sqrt[4]{x}+1)dx}{(sqrt{x}+4)sqrt[4]{x^3}}=[, x=t^4; ,; dx=4t^3, dt,; t=sqrt[4]{x}, ]=\\=int frac{(t+1)cdot 4t^3, dt}{(t^2+4)cdot t^3}=int frac{4(t+1), dt}{t^2+4}=2cdot int frac{2t, dt}{t^2+4}+4cdot int frac{dt}{t^2+4}=\\={int frac{du}{u}=ln|u|+C}=2cdot ln|t^2+4|+4cdot frac{1}{2}cdot arctgfrac{t}{2}+C=\\=2cdot ln(sqrt{x}+4)+2arctg frac{sqrt{x}}{2}+C$