Question

3. Интегрирование элементарных функций
3.3. Вычислить следующие интегралы, используя подведение под знак дифференциала
3.4. Вычислить следующие интегралы, используя правило интегрирования по частям

Answer 1

$1)intlimits {frac{ln^2x}{x}} , dx=|d(lnx)= frac{dx}{x}|= intlimits{ln^2x} , d(lnx)= frac{ln^3x}{3}+C$

$2) intlimits{e^{cosx}}cdot sinx , dx =|d(cosx)=sinxcdot dx|=intlimits{e^{cosx}}, d(cosx)=e^{cosx}+C$

$3) intlimits{ frac{e^{arctgx}}{1+x^2} } , dx=|d(arctgx)= frac{dx}{1+x^2}|= intlimits{e^{arctgx}} , d(arctgx)=e^{arctgx}+C$

$4) intlimits{ frac{x^6}{x^{14}+5} } , dx= frac{1}{5}intlimits{ frac{x^6}{ frac{x^{14}}{5}+1} } , dx=frac{1}{5}intlimits{ frac{x^6}{( frac{x^{7}}{ sqrt{5} })^2+1} } , dx=|d( frac{x^7}{ sqrt{5} })= frac{7x^6}{ sqrt{5} }dx |=$$frac{1}{7 sqrt{5} }intlimits{ frac{1}{( frac{x^{7}}{ sqrt{5} })^2+1} } , d( frac{x^7}{ sqrt{5} })=frac{1}{7 sqrt{5} }arctg(frac{x^7}{ sqrt{5} })+C$

$5) intlimits{ frac{1-2sinx}{cos^2x} } , dx = intlimits{ frac{1}{cos^2x} } , dx - 2intlimits{ frac{sinx}{cos^2x} } , dx$
$intlimits{ frac{1}{cos^2x} } , dx =tgx+C$
$intlimits{ frac{sinx}{cos^2x} } , dx=|d(cosx)=-sinxdx|=- intlimits{ frac{1}{cos^2x} } , d(cosx) = frac{1}{cosx}+C$
$intlimits{ frac{1-2sinx}{cos^2x} } , dx =tgx- frac{2}{cosx}+C$

$intlimits{ frac{ln(x)-3}{x sqrt{lnx} } } , dx =|d(lnx)= frac{dx}{x} |=intlimits{ frac{ln(x)-3}{sqrt{lnx} } } , d(lnx)=$$intlimits{( frac{ln(x)}{sqrt{lnx} } - frac{3}{ sqrt{lnx}}) } , d(lnx)=intlimits{sqrt{lnx} } , d(lnx)-3intlimits{ (lnx}})^{- frac{1}{2} } } , d(lnx)=$$frac{2}{3} (lnx)^{ frac{3}{2}} -6 sqrt{lnx}+C= frac{2}{3} lnx sqrt{lnx} -6 sqrt{lnx}+C$

$intlimits {x cdot cosx} , dx=begin{vmatrix}v=x &dv=dx \du=cosxdx &u=sinxend{vmatrix} =xsinx- intlimits{sinx} , dx=$$xsinx+cosx +C$

$intlimits{xe^x} , dx=begin{vmatrix}v=x &dv=dx \du=e^xdx &u=e^xend{vmatrix}=xe^x- intlimits{e^x} , dx=xe^x-e^x+C$

$intlimits {xsin(2x)} , dx=begin{vmatrix}v=x &dv=dx \du=sin2xdx &u=-frac{1}{2}cos2xend{vmatrix}=$$-frac{x}{2}cosx+ frac{1}{2} intlimits{cos2x} ,dx=-frac{x}{2}cosx+ frac{1}{4}sin(2x)+C$

Answer 2

спасибо

Answer 3

только не вижу 6 из 3,3 и задание 3.4

Answer 4

Все задания выполнены и видны. 6ое задание сразу за 5ым, а дальше задания 3.4.