Question

Найти общее решение данного уравнения и частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Answer 1

7)
$xy'+2y= \frac{1}{x}$
$y'+ \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^2}$
$y=uv$
$u'v+uv'+ \frac{2uv}{x} = \frac{1}{x^2}$
$u'v+u(v'+ \frac{2v}{x} )= \frac{1}{x^2}$

$v'+ \frac{2v}{x}=0$
$\frac{dv}{dx}=- \frac{2v}{x}$
$\frac{dv}{dx}=- \frac{2v}{x}$
$\int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dx}{x}$
$ln |v| =-2ln|x|$
$ln |v| =ln| \frac{1}{x^2} |$
$v=\frac{1}{x^2}$

$u'v=\frac{1}{x^2}$
$\frac{u'}{x^2}=\frac{1}{x^2}$
$\frac{du}{dx}=1$
$\int du =\int dx$
$u=x+C$

$y=uv= \frac{x+C}{x^2}$

$y(3)=\frac{3+C}{3^2} =1$
$3+C=9$
$C=6$
$y=\frac{x+6}{x^2}$