Question

5.Федя написал на доску в первый столбик 16 различных простых чисел, а во второй – 3 различные цифры. Игорь должен сказать Феде одно из чисел из первого столбика, а Федя – составить из своих цифр одно трёхзначное число. Игорь ходит первым. Федя выигрывает, если его число делится на число Игоря, и проигрывает в противном случае. Докажите, что Игорь всегда сможет помешать Феде выиграть.

Answer 1

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в первый столбик.