Question

Довести, що якщо сторони прямокутного трикутника утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола.

Answer 1

По условию катеты равны а и а+d (d разность арифметической прогрессии); гипотенуза равна а+2d;
По теореме Пифагора:
(a+2d)^2=a^2+(a+d)^2;
а^2+4ad+4d^2=a^2+a^2+2ad+d^2;
a^2-2ad-3d^2=0;
D=4d^2+12d^2=16d^2;
a=(2d+4d)/2=3d (второй корень отрицательный);
значит, катеты равны a=3d и a+d=3d+d=4d;
гипотенуза равна a+2d=3d+2d=5d;
Формула радиуса вписанной в прямоугольный трегольник окружности:
r=(а+в-с)/2 (a; b катеты; с гипотенуза);
r=(3d+4d-5d)/2;
r=2d/2=d;