Помогите срочно, пожалуйста!))!!
1.В равнобедренном треугольнике вписана окружность, которая точкой касания делит боковую сторону на отрезки длиной 18 и 16 см, считая от вершина. Найдите радиус вписанной окружности и площадь треугольника
2.Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности, если катет треугольника равен 6дм, а синус прилежащего угла равен 0.8
3.Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
Ответы
Ответ дал:
0
Задача №1
Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, равны (свойство касательных). Следовательно,
(см. рис. 1). Поэтому сторона AB равна 16+16=32.
Найдём полупериметр p:
![p=(18+16+18+16+32)/2=(68+32)/2=50. p=(18+16+18+16+32)/2=(68+32)/2=50.](https://tex.z-dn.net/?f=p%3D%2818%2B16%2B18%2B16%2B32%29%2F2%3D%2868%2B32%29%2F2%3D50.)
Теперь найдём площадь по формуле Герона:
![S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{50(50-34)^2(50-32)} = \ = sqrt{50cdot 16^2 cdot 18} = sqrt{16^2}cdot sqrt {900}=16cdot 30 = 480. S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{50(50-34)^2(50-32)} = \ = sqrt{50cdot 16^2 cdot 18} = sqrt{16^2}cdot sqrt {900}=16cdot 30 = 480.](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+sqrt%7Bp%28p-a%29%28p-b%29%28p-c%29%7D%3Dsqrt%7B50%2850-34%29%5E2%2850-32%29%7D+%3D+%5C+%3D+sqrt%7B50cdot+16%5E2+cdot+18%7D+%3D+sqrt%7B16%5E2%7Dcdot+sqrt+%7B900%7D%3D16cdot+30+%3D+480.)
Теперь по формуле
найдём радиус вписанной окружности:
![480=50r\r=480/50=48/5=9,6. 480=50r\r=480/50=48/5=9,6.](https://tex.z-dn.net/?f=480%3D50r%5Cr%3D480%2F50%3D48%2F5%3D9%2C6.)
Ответ: площадь — 480 см², радиус вп. окружности — 9,6 см.
Задача №2
Cм. рис. 2. O — центр описанной окружности, A — прилежащий угол.
Найдём синус противолежащего угла:
![sin B= cos (90^{circ} -B)=cos A= sqrt{1-(0,6)^2}= sqrt{1-0,36} = \ = sqrt{0,64} =0,8 sin B= cos (90^{circ} -B)=cos A= sqrt{1-(0,6)^2}= sqrt{1-0,36} = \ = sqrt{0,64} =0,8](https://tex.z-dn.net/?f=sin+B%3D+cos+%2890%5E%7Bcirc%7D+-B%29%3Dcos+A%3D+sqrt%7B1-%280%2C6%29%5E2%7D%3D+sqrt%7B1-0%2C36%7D+%3D+%5C+%3D+sqrt%7B0%2C64%7D+%3D0%2C8)
Теперь найдём гипотенузу, применив теорему синусов:
![frac{AC}{sin B} = frac{AB}{sin C} \ \ frac{6}{0,6} = frac{AB}{1} \ \
AB=60/6=10. frac{AC}{sin B} = frac{AB}{sin C} \ \ frac{6}{0,6} = frac{AB}{1} \ \
AB=60/6=10.](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7BAC%7D%7Bsin+B%7D+%3D+frac%7BAB%7D%7Bsin+C%7D+%5C+%5C+frac%7B6%7D%7B0%2C6%7D+%3D+frac%7BAB%7D%7B1%7D+%5C+%5C+%0AAB%3D60%2F6%3D10.)
Радиус R описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, поэтому:
![R=10/2=5. R=10/2=5.](https://tex.z-dn.net/?f=R%3D10%2F2%3D5.)
Ответ: 5 дм (не см!!!)
Задача №3
См. рис. 3. BC || AD, AB и CD — бёдра трапеции. Докажем, что AB=CD.
Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180° (необходимое условие). То есть ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
С другой стороны, сумма углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равна 180° (по теореме о параллельных прямых BC и AD и секущей AB). Следовательно, ∠A+∠B=∠C+∠D=180°.
Сопоставив эти равенства, получим, что ∠A=∠D и ∠B=∠C. Является ли это доказательством, что трапеция равнобедренная? Я не помню, изучают ли в школе эту теорему, поэтому на всякий случай докажу.
Проведём высоты BE и CF (см. рис. 4). Они равны, так как все высоты трапеции равны. Поэтому прямоугольные треугольники ABE и DFC равны (по острому углу и катету). Значит, равны их гипотенузы — AB и CD, что и требовалось доказать.
Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, равны (свойство касательных). Следовательно,
Найдём полупериметр p:
Теперь найдём площадь по формуле Герона:
Теперь по формуле
Ответ: площадь — 480 см², радиус вп. окружности — 9,6 см.
Задача №2
Cм. рис. 2. O — центр описанной окружности, A — прилежащий угол.
Найдём синус противолежащего угла:
Теперь найдём гипотенузу, применив теорему синусов:
Радиус R описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы, поэтому:
Ответ: 5 дм (не см!!!)
Задача №3
См. рис. 3. BC || AD, AB и CD — бёдра трапеции. Докажем, что AB=CD.
Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180° (необходимое условие). То есть ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
С другой стороны, сумма углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равна 180° (по теореме о параллельных прямых BC и AD и секущей AB). Следовательно, ∠A+∠B=∠C+∠D=180°.
Сопоставив эти равенства, получим, что ∠A=∠D и ∠B=∠C. Является ли это доказательством, что трапеция равнобедренная? Я не помню, изучают ли в школе эту теорему, поэтому на всякий случай докажу.
Проведём высоты BE и CF (см. рис. 4). Они равны, так как все высоты трапеции равны. Поэтому прямоугольные треугольники ABE и DFC равны (по острому углу и катету). Значит, равны их гипотенузы — AB и CD, что и требовалось доказать.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/d69/d6934d29a39b4394199bf96e81e8979f.jpg)
![](https://st.uroker.com/files/5d2/5d2dd042f5037f710b9e87c1edee8628.jpg)
![](https://st.uroker.com/files/745/745eb4c3bb36754055dd9545b17a0e2d.jpg)
![](https://st.uroker.com/files/c88/c885786de37221652baff3305226fe0c.jpg)
Вас заинтересует
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад