Question

Решите систему неравенств

Answer 1

Решаем первое неравенство системы:
Пусть $3^x = t$. Тогда первое неравенство равносильно системе неравенств:
$begin {cases} t textgreater 0 \ 3t+frac{2}{t}-7 leq 0 end {cases} textless = textgreater begin {cases} t textgreater 0 \ frac{3t^2-7t+2}{t} leq 0 end {cases} = textgreater 3t^2-7t+2 leq 0\ (3t-1)(t-2) leq 0 = textgreater frac{1}{3} leq t leq 2$
Вернемся к х: $frac{1}{3} leq 3^x leq 2 = textgreater x in [-1; log_32]$

Решаем второе неравенство системы:
$frac{x(x+1)-1}{x} + frac{7x(x-1)+2}{x-1} leq 8x+1 \ x+1- frac{1}{x} +7x+ frac{2}{x-1} leq 8x+1 \ (8x+1)+ frac{2}{x-1}- frac{1}{x} -(8x+1) leq 0 \ frac{2}{x-1}- frac{1}{x} leq 0\ frac{2x-x+1}{x(x-1)} leq 0\ frac{x+1}{x(x-1)} leq 0$
   -      +     -     +
------|----o----o----> x        => x ∈ (-∞; -1]∪(0; 1)
      -1    0     1
Находим пересечение решений первого и второго неравенств, получим ответ: ${-1} cup (0; log_32]$

Ответ: ${-1} cup (0; log_32]$

Answer 2

1)3^х+1+2*3^-х≤7
Решаем неравенство
относительно х
x∈[-1,log₃(2)]

2)x²+x-1/x+7x²-7x+2/x-1≤8x+1
Решаем неравенство относительно х
x∈(-∞,-1] ∪ (0,1)

3)Находим пересечение

{x∈(-1,log₃(2)]
{x∈(-∞,-1] ∪ (-1)

x∈(0,log₃(2)] ∪ {-1}