Question

Помогите решить неравенство

Answer 1

Существует "модный" способ решения таких неравенств - метод рационализации. Но я предложу традиционный "старый" способ.
$frac{log_2(x+1)-log_4(3x+1)}{log_4(3x+1)} leq 0$
Рассуждаем далее: частное ≤ 0, когда числитель и знаменатель разных знаков, причем знаменатель ≠ 0. Рассмотрим 2 случая.
$1) begin {cases} log_2(x+1)-log_4(3x+1) leq 0 \ log_4(3x+1) textgreater 0 end {cases}\ begin {cases} log_2(x+1)leq log_4(3x+1) \ log_4(3x+1) textgreater 0 end {cases} = textgreater begin {cases} x+1 textgreater 0 \ 3x+1 textgreater 0 \ 3x+1 textgreater 1\ (x+1)^2leq 3x+1 end {cases}\ = textgreater begin {cases} x textgreater 0 \ x^2+2x+1-3x-1 leq 0 end {cases} = textgreater begin {cases} x textgreater 0 \ x^2-x leq 0 end {cases} \ = textgreater begin {cases} x textgreater 0 \ x(x-1) leq 0 end {cases} = textgreater boxed {x in (0;1]}$
$2) begin {cases} log_2(x+1)-log_4(3x+1) geq 0 \ log_4(3x+1) textless 0 end {cases}\ begin {cases} log_2(x+1) geq log_4(3x+1) \ log_4(3x+1) textless 0 end {cases} = textgreater begin {cases} x+1 textgreater 0 \ 3x+1 textgreater 0 \ 3x+1 textless 1\ (x+1)^2 geq 3x+1 end {cases}\ = textgreater begin {cases} - frac{1}{3} textless x textless 0 \ x^2-x geq 0 end {cases} = textgreater begin {cases} - frac{1}{3} textless x textless 0 \ x(x-1) geq 0 end {cases} = textgreater boxed {x in (- frac{1}{3} ;0)}$
Наконец, объединяем ответы двух случаев: $boxed {x in (- frac{1}{3}; 0) cup (0;1]}$
Ответ: $(- frac{1}{3}; 0) cup (0;1]$

Answer 2

Спасибо!