Question

Докажите по индукции что для любого натурального n справедливо равенство :

${1}^{2} + {2}^{2} + {3 }^{2} + ... {n}^{2} = frac{n(n + 1)(2n + 1}{6}$

Answer 1

1. Базис индукции: n=1.
$1= dfrac{1cdot(1+1)cdot(2cdot 1+1)}{6}~~~Rightarrow~~~ 1=1$
Итак, утверждение верное при n=1

2. Пусть и для n=k равенство будет выполняться.

${1}^{2} + {2}^{2} + {3 }^{2} + ... {k}^{2} = frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$

3. Индукционный переход: n=k+1, то есть

${1}^{2} + {2}^{2} + {3 }^{2} + ... {k}^{2}+(k+1)^2 = frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \ \ frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}+(k+1)^2= frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \ \ (k+1)( frac{k(2k+1)}{6} +k+1)= frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \ \ (k+1) frac{2k^2+k+6k+6}{6}= frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \ \ (k+1) frac{2k^2+7k+6}{6} = frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \ \ frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} = frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$

На основании принципа математической индукции делаем вывод, что предположение справедливо для $n in mathbb{N}$

Answer 2

Спасибо бро!

Answer 3

Реально помог