Question

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. $x^{2} +y^{2} =4 , z=1, z=12-3x-4y$

Answer 1

Перепишем уравнения в цилиндрической системе координат: (x, y, z) меняются на (r, φ, z) по формулам x = r cos(φ - arctg 3/4), y = r sin(φ - arctg 3/4) – арктангенс возник из соображений удобства, чтобы третье уравнение выглядело поприличнее. Откуда отсчитывать углы, для нас не принципиально.

Первое уравнение: 
$4=x^2+y^2=r^2cos^2(dots)+r^2sin^2(dots)=r^2\ r=2$

Второе уравнение не меняется.

Третье уравнение:
$z=12-3x-4y=12-3rcosleft(varphi-mathop{mathrm{arctg}}dfrac34right)-4rsinleft(varphi-mathop{mathrm{arctg}}dfrac34right)=\=12-3rcdotdfrac45cosvarphi-3rcdotdfrac35sinvarphi-4rcdotdfrac45sinvarphi+4rcdotdfrac35cosvarphi=\=12-5rsinvarphi$

Итак, уравнения поверхностей, ограничивающих тело, выписаны выше: r = 2, z = 1, z = 12 - 5r sin φ. Тело, которое они ограничивают, изображено на приложенном рисунке: это часть цилиндра, вырезанная двумя плоскостями.

Сформулируем условия в виде неравенств. 
1 ≤ z ≤ 12 - 5r sin φ
0 ≤ φ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ 2

Осталось вспомнить, что элемент объёма в цилиндрических координатах есть dV = r dr dφ dz, и вычислить интеграл:
$displaystyle iiint_VdV=int_0^{2pi}dvarphiint_0^2r,drint_1^{12-5rsinvarphi}dz=\=int_0^{2pi}dvarphiint_0^2(11-5rsinvarphi)r,dr=2picdot22=44pi$

Ответ: 44π.

________________________________________

Для самопроверки получим этот ответ без интеграла. 
Самая нижняя точка, в которой наклонная плоскость пересекает цилиндр, это z = 12 - 5 * 2 = 2, самая высокая – z = 12 + 5 * 2 = 22. Тогда объём равен сумме объёма цилиндра с высотой 2 - 1 = 1 и половины объёма цилиндра с высотой 22 - 2 = 20.
V = S * (h1 + h2 / 2) = 4π * (1 + 10) = 44π