Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
y"'+y"=4*×

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'''+y''=0$

Пусть $y=e^{kx}$, тогда перейдем к характеристическому уравнению
$k^3+k^2=0\ k^2(k+1)=0\ k_{1,2}=0;\ k_3=-1$

Общее решение однородного ур-я: $y=C_1+xC_2+C_3e^{-x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=4xe^{0cdot x}$
$P_n(x)=4x~~~Rightarrow~~~ n=1\ alpha =0$

Сравнивая $alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде:
$y$ч.н. = $x^2(Ax+B)=Ax^3+Bx^2$
$y'=3Ax^2+2Bx\ y''=6Ax+2B\ y'''=6A$

Подставим данные в исходное уравнение:
$6A+6Ax+2B=4x\ \ 6Ax+6A+2B=4x$

Приравниваем коэффициенты при степени x, получим:

$displaystyle left { {{6A=4} atop {6A+2B=0}} right. ~~~Rightarrow~~~ left { {{A= frac{2}{3} } atop {2B=-4}} right. ~~~Rightarrow~~~ left { {{A= frac{2}{3} } atop {B=-2 }} right.$

Частное решение: $y$ч.н. = $frac{2x^3}{3}-2x^2$


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ:

$y=y_{o.o}+y$ч.н. = $C_1+xC_2+C_2e^{-x}+frac{2x^3}{3}-2x^2$