Question

Cрочно!!! Вычислить интеграл 
$intlimits^1_0 {frac{x dx}{sqrt[4]{(1+15x^2)^3}}}$

Answer 1

Рассмотрим неопределенный интеграл:
$int frac{xdx}{ sqrt[4]{(15x^2+1)^3}} = frac{1}{30} int frac{d(15x^2+1)}{ sqrt[4] {(15x^2+1)^3}} = frac{1}{30} int (15x^2+1)^{ -frac{3}{4} }d(15x^2+1) =\ = frac{1}{30}(15x^2+1)^{ frac{1}{4}} + C = frac{1}{30} sqrt[4]{15x^2+1}} + C$
Используем пределы интегрирования:
$int limits_{0}^{1} frac{xdx}{ sqrt[4]{(15x^2+1)^3}} = frac{1}{30} sqrt[4]{15x^2+1}} big | _{0}^{1} = frac{1}{30}sqrt[4]{15+1}- frac{1}{30}sqrt[4]{0+1}=\ =frac{1}{30}*2-frac{1}{30} = frac{1}{30}.$