Question

Решить методом операционного исчисления ду
x''-4x'=4t x(0)=0 x'(0)=4
Нашёл изображения производных, получил уравнение, а дальше не идёт
Помогите пожалуйста.

Answer 1

$x''-4x'=4t; x(0)=0; x'(0)=4 \ \ x''leftarrow p^2X(p)-4 \ \ x' leftarrow pX(p) \ \ t leftarrow frac{1}{p^2} \ \ \ p^2X(p)-4-4pX(p)= frac{4}{p^2} \ \ X(p)(p^2-4p)=frac{4}{p^2}+4 \ \ X(p)(p^2-4p)=frac{4+4t^2}{p^2} \ \ X(p)=frac{4+4p^2}{p^2(p^2-4p)} =frac{4+4p^2}{p^3(p-4)}$

Воспользуемся разложением на множители:
$frac{4+4p^2}{p^3(p-4)}= frac{A}{p} + frac{B}{p^2} +frac{C}{p^3}+ frac{D}{p-4} \ \ Ap^2(p-4)+Bp(p-4)+C(p-4)+Dp^3=4+4p^2 \ \ 1) p=0; \ -4C=4 \ C=-1 \ \ 2) p=4 \ 64D=68 \ D= frac{17}{16} \ \ 3) p=1 \ -3A-3B+3+ frac{17}{16}=8 \ 3A+3B=- frac{63}{16} \ \ A+B= -frac{21}{16}\ \ 4) p=-1 \ -5A+5B+5- frac{17}{16}=8 \ \ -5A+5B= frac{65}{16} \ \ -A+B= frac{13}{16}\ \ left { {{A+B= -frac{21}{16}} atop {-A+B= frac{13}{16}}} right. \ \ 2B=- frac{1}{2}$

$B=-frac{1}{4} \ \ A=-frac{21}{16}-B=frac{21}{16}+frac{1}{4}=-frac{17}{16}$

$X(p)=-frac{17}{16}*frac{1}{p}-frac{1}{4}*frac{1}{p^2}-frac{1}{p^3}+frac{17}{16}*frac{1}{p-4}rightarrow \ \ rightarrow x(t)=-frac{17}{16}-frac{t}{4}-frac{t^2}{2}+frac{17}{16}e^{4t} \ \ OTBET: x(t)= frac{17}{16}e^{4t}-frac{17}{16}-frac{t}{4}-frac{t^2}{2}$