Question

Интегралы............................................

Answer 1

Для того чтоб решить интеграл воспользуемся формулой интегрирования по частям

$displaystyle int {U(x)dV(x) , dx =U(x)*V(x)-int V(x)dU(x)dx$

выполним замену

$displaystyle U(x)=x^2; dU(x)=2xdx\\dV(x)= frac{1}{ sqrt[3]{8-x}};\\ V=int (8-x)^{-1/3}dx= (8-x=t;-dx=dt)=int -t^{1/3} dt= - frac{3}{2}t^{2/3}=\\=- frac{3}{2}(8-x)^{2/3}$

теперь подставляем с формулу

$displaystyle int frac{x^2}{ sqrt[3]{8-x}}dx=x^2*(- frac{3}{2}(8-x)^{2/3})- int - frac{3}{2}(8-x)^{2/3}*2xdx=\\=- frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}+3int x(8-x)^{2/3}dx$

теперь с интегралом опять проделаем такую же операция (интегрирование по частям)

$displaystyle U(x)=x; dU(x)=dx\\dV(x)=(8-x)^{2/3};\\V=int (8-x)^{2/3}dx=(8-x=t; -dx=dt)=int -t^{2/3}dt=\\=- frac{3}{5}t^{5/3}=- frac{3}{5}(8-x)^{5/3}$

продолжим наше решение
$displaystyle int frac{x^2}{ sqrt[3]{8-x}}dx= \\= frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}+3 bigg (- frac{3}{5}x(8-x)^{5/3}-int frac{-3}{5}(8-x)^{5/3}dx bigg)=\\= frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}- frac{9x}{5}(8-x)^{5/3}+ frac{9}{5}int(8-x)^{5/3}dx=$
пользуясь опять заменой 8-x=t; -dx=dt легко вычислить последний интеграл

$displaystyle = frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}- frac{9x}{5}(8-x)^{5/3}- frac{27}{40}(8-x)^{8/3}+C$