Question

Помогите решить уравнение.
sin4 2x + cos4 2x = 5/8

В ответе указать ( в градусах) число корней на промежутке [0; 180] градусов.

Answer 1

Пусть 2x = t ⇒ $sin^4 t + cos^4 t = frac{5}{8}$

Используем формулы понижения степени

$(frac{1-cos2t}{2} )^{^2} + (frac{1+cos2t}{2} )^{^2}=frac{5}{8} \ frac{1-2cos2t+cos^22t+1+2cos2t+cos^22t}{4} =frac{5}{8} \ frac{2+2cos^22t}{4} =frac{5}{8} \ 4+4cos^22t=5\ 4cos^22t=1\ 4*frac{1+cos4t}{2}=1\ cos4t=-frac{1}{2} \ 4t =б frac{2pi}{3} +2pi k, k in Z\ 8x= б frac{2pi}{3} +2pi k, k in Z\ x= б frac{pi}{12} +frac{pi k}{4}, k in Z$

Для отбора корней на [0°; 180°] запишем в градусах: х = ±15°+45°k, k∈Z.

1) 15°+45°k, k∈Z ⇒ k=0;1;2;3 - 4 корня

2) -15°+45°k, k∈Z ⇒ k=1;2;3;4 - 4 корня

Итого 8 корней на [0°; 180°]

Ответ: 8

Answer 2

sin⁴2x+cos⁴2x=5/8
(sin²2x+cos²2x)-2*sin²2x*cos²2x=5/8
1-(sin²4x)/2=5/8
2-sin²4x=5/4
sin²4x=2-5/4
sin²4x=3/4
(1-cos8x)/2=3/4
1-cos8x=3/2
cos8x=1-3/2
cos8x=-1/2
8x=±2π/3+2πk
x=±π/12++πk/4
x=±15°+45°k
0≤x≤180°
0≤15°+45°k≤180°
-15°≤45°k≤165°
-1/3≤k≤3,7
k={0;1;2;3;}
x={15°;60°;105°;150°}
0≤-15°+45k≤180°
15°≤45°k<195°
1/3≤k≤4,3
k={1;2;3;4}
x={30°;75°;120°;165°}
ответ 8 корень