Question

Если положительное двузначное число разделить на сумму его цифр , то в частном получится 8, а в остатке 7. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр , то получится число , которое меньше данного на 14. Найдите это число пожалуйста

Answer 1

Пусть $overline{xy}$ - неизвестное двузначное число.

Двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7, то есть имеем такое уравнение:

$displaystyle frac{overline{xy}}{x+y} =8+frac{7}{x+y}~~|cdot (x+y)~~Rightarrow~~~ overline{xy}=8(x+y)+7$

Из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится число, которое меньше данного на 14, то есть

$(x+y)^2-xy=overline{xy}-14$

Раз $overline{xy}$ - двузначное число, то $overline{xy}=10x+y$

Решаем систему уравнений: $displaystyle left { {{10x+y=8(x+y)+7} atop {(x+y)^2-xy=10x+y-14}} right.$

$displaystyle left { {{10x+y=8x+8y+7} atop {(x+y)^2-xy=10x+y-14}} right. ~~~Rightarrowleft { {{2x-7y=7} atop {x^2+y^2+xy=10x+y-14}} right. \ \ Rightarrow~~left { {{x=frac{7y+7}{2}} atop {(frac{7y+7}{2})^2+y^2+ycdotfrac{7y+7}{2}=10cdotfrac{7y+7}{2}+y-14}} right. \ frac{49y^2+98y+49}{4}+y^2+frac{7y^2+7y}{2} =35y+35+y-14~~|cdot 4\ \ 49y^2+98y+49+4y^2+14y^2+14y=144y+84\ 67y^2-32y-35=0$

$y_1=-dfrac{35}{67}$ - не удовлетворяет условию;

$y_2=1$

Тогда $x_2=dfrac{7cdot 1+7}{2}=7$

Искомое двузначное число: 71.