Question

Решите уравнение

$3tg^{2}+7=frac{2}{sin^{2}x}$

Answer 1

$3 ({tgx})^{2} + 7 = frac{2}{ ({ sin(x) })^{2} }$

ОДЗ: sinx ≠ 0
x ≠ πn, n € Z
Так как
$frac{1}{ ({ sin(x) })^{2} } = ( {ctgx})^{2} + 1 \ \ frac{2}{ ({ sin(x) })^{2} } = 2( {ctgx})^{2} + 2$

Подставляем в формулу:

$3 ({tgx})^{2} + 7 = 2 ({ctgx})^{2} + 2 \ \ 3 ({tgx})^{2} + 7 = 2 ({ frac{1}{tgx} })^{2} + 2 \ \ 3 ({tgx})^{2} - 2 ({ frac{1}{tgx} })^{2} + 5 = 0$

Сделаем замену:
$y = ({tgx})^{2} \ \ 3y - frac{2}{y} + 5 = 0 \ \ 3 {y}^{2} + 5y - 2 = 0 \1) : y = - 2 \ 2) : y = frac{1}{3}$

Обратная замена =>

$1) : y = - 2 \ \ ({tgx})^{2} = - 2 :$
Не имеет смысла, так как а² ≥ 0

$2) : y = frac{1}{3} \ \ : ( {tgx})^{2} = frac{1}{3} \ \ a) : tgx = - frac{ sqrt{3} }{3 } \ \ x = - frac{pi}{6} + pi : n \ \ b) : tgx = frac{ sqrt{3} }{3} \ \ x = frac{pi}{6} + pi : n$

ОТВЕТ:
$x = + - frac{pi}{6} + pi : n$
n € Z

Удачи тебе! :)

Answer 2

Спасибо!