Question

При каких значениях параметра a (-1 < a < ½) из трех отрезков с длинами 1 + a , 1 - 2a и 2 можно построить треугольник?

Answer 1

.........................

Answer 2

В треугольнике сумма длин двух любых сторон всегда больше третьей стороны

$displaystyle begin{cases} & text{ } 1+a+1-2a>2 \ & text{ } 1+a>0\ & text{ } 1-2a>0 end{cases}~~~Rightarrow~~~begin{cases} & text{ } -a>0 \ & text{ } a>-1 \ & text{ } a<0.5 end{cases}~~~Rightarrow~~~ begin{cases} & text{ } a<0 \ & text{ } a>-1 \ & text{ } a<0.5 end{cases}$

Получим общее $-1<a<0$

Случай 2.

$begin{cases} & text{ } 2+a+2>1-2a \ & text{ } 1-2a>0 \ & text{ } a<0.5 end{cases}~~~Rightarrow~~~ begin{cases} & text{ } a<-2/3\ & text{ } a>-1 \ & text{ } a<1/2 end{cases}~~~Rightarrow~~ -2/3<a<1/2$

Случай 3.

$begin{cases} & text{ } 1-2a+2>1+a \ & text{ } a>-1\ & text{ } a<1/2 end{cases}~~~Rightarrow~~~begin{cases} & text{ } a<2/3 \ & text{ } a>-1 \ & text{ } a<1/2 end{cases}~~~Rightarrow~~ -1<a<1/2$

Пересечения всех решений системы неравенств: $-2/3<a<0$

Ответ: $a in (-2/3;0).$