Question

A) 11cos2x=7sin(x-pi/2)-9

B) найдите все корни принадлежащие отрезку [-pi;0]

Answer 1

11cos(2x)=7sin(x-п/2)-9

11cos(2x)=-7cos(x)-9

11cos(2x)+7cos(x)+9=0

11(2cos²x-1)+7cos(x)+9=0

22cos²x+7cos(x)-2=0

(2cos(x)+1)(11cos(x)-2)=0

2cos(x)=1 <=> cos(x)=-1/2

x=2п/3+2пk, k∈Z (1)

x=4п/3+2пk, k∈Z (2)

11cos(x)=2

cos(x)=2/11

x=arccos(2/11)+2пk, k∈Z (3)

x=-arccos(2/11)+2пk, k∈Z (4)

Ответы к уравнению (1-4).

Находим корни на промежутке [-п;0] с помощью неравенств:

-п≤2п/3+2пk≤0

-5п/3≤2пk≤-2п/3

-5п≤6пk≤-2п

-5≤6k≤-2 => нет решений

-п≤4п/3+2пk≤0

-7п/3≤2пk≤-4п/3

-7п≤6пk≤-4п

-7≤6k≤-4 => k=-1

Тогда x=4п/3-2п=-2п/3

Остальные два корня нужно проверить по тригонометрической окружности (и вообще все корни лучше с помощью нее искать). Тогда получим еще корень x=-arccos(2/11)

Ответ: -2п/3, -arccos(2/11).

Answer 2

$11cos2x=7sin(x-frac{pi }{2})-9\\11(cos^2x-sin^2x)=-7sin(frac{pi }{2}-x)-9\\11(cos^2x-(1-cos^2x))=-7cosx-9\\11(2cos^2x-1)+7cosx+9=0\\22cos^2x+7cosx-2=0\\D=7^2+4cdot 22cdot 2=225=15^2; ,\\(cosx)_1=frac{-7-15}{44}=-frac{1}{2}; ,; ; (cosx)_2=frac{-7+15}{44}=frac{2}{11}\\a); ; cosx=-frac{1}{2}; ,\\x=pm (pi -arccosfrac{1}{2})+2pi n=pm (pi -frac{pi }{3})+2pi n=pm frac{2pi }{3}+2pi n,; nin Z\\b); ; cosx=frac{2}{11}\\x=pm arccosfrac{2}{11}+2pi k,; kin Z$

$c); ; xin [-pi ,0, ], :; ; x=-frac{2pi}{3}; ;; -arccosfrac{2}{11}; .$