Question

Второй член геометрической прогрессии равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к сумме ее членов 16/3. Найти сумму первых 3 членов прогрессии.

Answer 1

$b_{2} =b_{1}q=4$

$frac{{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...b_{n}^{2}}}{b_{1}+b_{2}+...b_{n}}=frac{16}{3}$

Если нужно найти сумму первых 3 членов, то ограничимся $n=3$

$n=3; b_{1}, b_{2}=b_{1}q, b_{3}=b_{1}q^{2}$

$b_{1}+b_{2}+b_{3}=b_{1}(1+q+q^{2})=b_{1}(q^{2}+q+1)$

$b_{1}^{2}, b_{2}^{2}=b_{1}^{2}q^{2}, b_{3}^{2}=b_{1}^{2}q^{4}$

$b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}=b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}+b_{1}^{2}q^{4}=b_{1}^{2}(1+q^{2}+q^{4})$

Представим уравнение 4 степени по-другому, выделив полный квадрат:

$q^{4}+2q^{2}+1-q^{2}=(q^{2}+1)^{2}-q^{2}=(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)$

Из уравнения $b_{2}=b{1}q=4$ выразим $b_{1}$:

$b_{1}=frac{4}{q}$

Получилось уравнение:

$frac{{b_{1}^{2}(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{b_{1}(q^{2}+q+1)}=frac{16}{3}$

$b_{1}frac{{(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{(q^{2}+q+1)}=frac{16}{3}$

Подставим $b_{1}=frac{4}{q}$:

$frac{{4(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)}}{q(q^{2}+q+1)}=frac{16}{3}$

Откуда, сократив на 4 и на $(q_{2}+q+1)$ получаем:

$frac{q^{2}-q+1}{q}=frac{4}{3}$

Домножим обе части на $3q$:

$3(q^{2}-q+1)=4q$

Раскрываем скобки:

$3q^{2}-3q+3-4q=0$

$3q^{2}-7q+3=0$

$D=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4*3*3=49-36=13$

$q_{1}=frac{7+sqrt{13}}{6}$

$q_{2}=frac{7-sqrt{13}}{6}$

далее найдёте сами сумму трёх первых членов