Question

Сумма S существует и конечна. Найдите ее.
$S = frac{1}{4}-frac{2}{4^2}+frac{3}{4^3}-frac{4}{4^4}+...+(-1)^{n+1}frac{n}{4^n}+...$

Answer 1

$S = dfrac{1}{4}-dfrac{2}{4^2}+dfrac{3}{4^3}-dfrac{4}{4^4}+dfrac{5}{4^5}-dfrac{6}{4^6}+...+(-1)^{n+1}dfrac{n}{4^n}+...$

Домножаем всю сумму на 4

$4S = 1-dfrac{2}{4}+dfrac{3}{4^2}-dfrac{4}{4^3}+dfrac{5}{4^4}-dfrac{6}{4^5}+...+(-1)^{n+1}dfrac{n}{4^{n-1}}+...$

Складываем почленно 4S и S

$4S+S=1+dfrac{1}{4}-dfrac{2}{4}-dfrac{2}{4^2}+dfrac{3}{4^2}+dfrac{3}{4^3}-dfrac{4}{4^3}-dfrac{4}{4^4}+dfrac{5}{4^4}+dfrac{5}{4^5}+...\ \ ...+(-1)^{n+1}dfrac{n}{4^n}+(-1)^{n+2}dfrac{n+1}{4^n}+(-1)^{n+2}dfrac{n+1}{4^{n+1}}+(-1)^{n+3}dfrac{n+2}{4^{n+1}}...\ \ 5S=1-dfrac{1}{4}+dfrac{1}{4^2}-dfrac{1}{4^3}+dfrac{1}{4^4}-dfrac{1}{4^5}+...\\...+(-1)^ndfrac{-n+n+1}{4^n}+(-1)^{n+2}dfrac{n+1-n-2}{4^{n+1}}...$

$5S=1-dfrac{1}{4}+dfrac{1}{4^2}-dfrac{1}{4^3}+dfrac{1}{4^4}-dfrac{1}{4^5}+...+dfrac{1}{4^{2k}}-dfrac{1}{4^{2k+1}}...$

Увеличенная в 5 раз исходная сумма свелась к сумме бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 

$q = -dfrac{1}{4}:1=-dfrac{1}{4}$ , сумма которой  $S_n=dfrac{b_1}{1-q}$

$5S=S_n=dfrac{1}{1+frac{1}{4}} =1:dfrac{5}{4}=dfrac{4}{5}=0,8$

5S = 0,8     ⇒      S = 0,16

Ответ: S= 0,16