Question

Пользуясь определением установить, существует ли производная функции f(x) в точке x = 0, если:
Пожалуйста помогите со всеми пунктами (смотри картинку).

Answer 1

производная по определению:

$f(x)= lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x} ,$ где

$Delta y =f(x+Delta x)-f(x)$

необходимое и достаточное условие существование производной:

$f'(x_0-0)=f'(x_0+0)$ , то есть

$lim_{Delta x to -0} frac{Delta y}{Delta x} =lim_{Delta x to +0} frac{Delta y}{Delta x}$

$a) f(x)=|x^3| \ Delta y=|(x+Delta x)^3|-|x^3|$

нужно определить, существует ли производная в точке x=0, поэтому подставляем вместо х нуль:

$Delta y=|(0+Delta x)^3|-|0^3|=|(Delta x)^3|$

Напомню, что когда под модулем стоит положительное число, то знак модуля просто убирается,

а если отрицательное, то знак модуля также убирается, но впереди ставится знак минус!

Левосторонний предел:

$f'(x_0-0)= lim_{Delta x to -0} frac{Delta y}{Delta x} = lim_{Delta x to -0} frac{|(Delta x )^3|}{Delta x}=lim_{Delta x to -0} frac{-(Delta x)^3}{Delta x} \ \ =lim_{Delta x to -0} -(Delta x)^2=lim_{Delta x to -0} -(-0)^2=0$

Аналогично для правостороннего:

$f'(x_0+0)= lim_{Delta x to+0} frac{Delta y}{Delta x} = lim_{Delta x to +0} frac{|(Delta x )^3|}{Delta x}=lim_{Delta x to +0} frac{(Delta x)^3}{Delta x} \ \ =lim_{Delta x to +0} (Delta x)^2=lim_{Delta x to +0} (+0)^2=0$

f'(x_0-0)=f'(x_0+0) ⇒ производная существует в точке х=0

б)

$Delta y=|x+Delta x|+x+Delta x - (|x|+x)=|0+Delta x|+0+Delta x - (|0|+0)= \ \ =|Delta x| +Delta x \ \ 1) lim_{Delta x to -0} frac{Delta y}{Delta x} =lim_{Delta x to -0} frac{|Delta x| +Delta x}{Delta x} =lim_{Delta x to -0} frac{-Delta x +Delta x}{Delta x} =0\ \ 2)lim_{Delta x to +0} frac{|Delta x| +Delta x}{Delta x} =lim_{Delta x to +0} frac{Delta x +Delta x}{Delta x} =2$

f'(x_0-0)≠f'(x_0+0) ⇒ производная не существует в точке х=0

в)

$Delta y=sin(frac{1}{x+Delta x} )-sin(frac{1}{ x} )=sin(frac{1}{Delta x})-sin(infty)\ \ 1) lim_{Delta x to -0} frac{sin(frac{1}{Delta x})-sin(infty)}{Delta x} =frac{sin(infty)-sin(infty)}{0}$

Предела не существует ⇒ производной нет

г)

$Delta y=(x+Delta x)sin(frac{1}{x+Delta x} )-xsin(frac{1}{ x} )=Delta x*sin(frac{1}{Delta x})\ \ 1) lim_{Delta x to -0} frac{Delta x*sin(frac{1}{Delta x})}{Delta x} = lim_{Delta x to -0} sin(frac{1}{Delta x})=sin(-infty)$

Предела не существует ⇒ производной нет

д)

$Delta y=(x+Delta x)^2sin(frac{1}{x+Delta x} )-x^2sin(frac{1}{ x} )=Delta x^2*sin(frac{1}{Delta x})\ \ 1) lim_{Delta x to -0} frac{Delta x^2*sin(frac{1}{Delta x})}{Delta x} = lim_{Delta x to -0}Delta x* sin(frac{1}{Delta x})=0\ \ 2) lim_{Delta x to +0} frac{Delta x^2*sin(frac{1}{Delta x})}{Delta x} = lim_{Delta x to +0}Delta x* sin(frac{1}{Delta x})=0$

Так как функция кусочно-заданная, то проверим будет ли она непрерывна в точке х=0

 $A=lim_{x to-0} x^2*sin frac{1}{x} =0*sin(-infty)=0 \ \ B=lim_{x to+0} x^2*sin frac{1}{x} =0*sin(infty)=0 \ \ f(0)=0$

A=B=f(0)=0 ⇒ функция не прерывна 

f'(x_0-0)=f'(x_0+0) ⇒ производная существует в точке х=0

Answer 2

Получается всегда надо проверять непрерывность?

Answer 3

Точно не могу сказать, в разных источниках по разному пишут

Answer 4

В одних сказано, что функция должна быть непрерывна в точке, чтобы существовала производная в этой точке. В других источниках пишут, что есть необходимый и достаточный признак и он (наверное) подразумевает, что функция является непрерывной, если выполняется данное условие

Answer 5

Спасибо

Answer 6

Пожалуйста