Question

Сколько натуральных чисел из отрезка [2;1020] имеют одинаковый остаток при делении на 2,3,5 и 7, равный 1?

Answer 1

Чтобы число давало остаток 1 при делении на все данные (2, 3, 5, 7)

Оно должно иметь вид:

$2^k*3^m*5^n*7^l+1; k, m, n, lgeq 1$

Сразу заметим, что при степени 7, большей 1 число не попадает в отрезок независимо от прошлых множителей. Тоже самое и со степенями 5

Остаются варианты перебрать k и m:

$1) k=1, m=1; 2*3*5*7+1=211$

$2) k=1, m=2; 2*9*5*7+1=631$

$3) k=2, m=1; 4*3*5*7+1=421$

$4) k=3, m=1; 8*3*5*7+1=841$

Ответ: 4 числа: 211; 421; 631; 841

Answer 2

Число, которое при делении на 2; 3; 5 и 7 даёт остаток 1, должно быть вида:

НОК(2; 3; 5; 7) + 1,

где НОК - наименьшее общее кратное чисел 2; 3; 5 и 7.

Числа 2; 3; 5 и 7 - взаимно простые, значит,

НОК(2; 3; 5; 7) = 2 · 3 · 5 · 7 = 210.

И теперь получаем формулу для нужных нам чисел:

N = 210n + 1

где n - натуральное число ( n ∈ N)

Получаем неравенство для данного промежутка [2; 1020]:

2 ≤ 210n+1 ≤ 1020

2 -1 ≤ 210n+1 -1 ≤ 1020 -1

1 ≤ 210n ≤ 1019

1 : 210 ≤ 210n : 210 ≤ 1019 : 210

1/210 ≤ n ≤ 1019/210

0,0047 ≤ n ≤ 4,852...

Из этого неравенства выбираем только натуральные числа:

n=1

n=2

n=3

n=4

Всего 4 числа.

Можно их найти с помощью нашей формулы N = 210n + 1.

n=1; N₁ = 210*1 + 1= 211

n=2; N₂ = 210*2 + 1= 421

n=3; N₃ = 210*3 + 1= 631

n=4; N₄ = 210*4 + 1= 841

Ответ: 4 числа