Question

Определить особую точку и её тип

f(z)=(z-1)*(e^((1)/(z-1)))

Answer 1

Особая точка: 1
Так как при единице функция не определена (на 0 делить нельзя)

Теперь определим ее тип:

1) способ

Рассмотрим лево- и право сторонний пределы:

$a) : lim _{z - > 1 + 0 } (z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = lim _{z - > 1 + 0 } frac{ {e}^{ frac{1}{z - 1} } }{ frac{1}{z - 1} } = frac{e ^{ frac{1}{ + 0} } }{ frac{1}{ + 0} } = ( frac{ infty }{ infty } )$
Можно воспользоваться правилом Лопиталя:

$lim _{z - > 1 + 0 } frac{ - {e}^{ frac{1}{z - 1} } times frac{1}{(z - 1) ^{2} } }{ - frac{1}{(z - 1)^{2} } } = lim _{z - > 1 + 0}{e}^{ frac{1}{z - 1} }= e ^{ infty } = infty$
$b) : lim _{z - > 1 - 0 }(z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = 0 times e^{ frac{1}{ - 0} } = 0 times {e}^{ - infty } = 0 times 0 = 0$
Лево- и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела в точке z=1 - не существует, значит
z=1 - существенно особая точка

2 способ)
Разложение в ряд Лорана:

Воспользуемся готовым разложением:

${e}^{x} = 1 + x + frac{ {x}^{2} }{2} + frac{ {x}^{3} }{6} + ...$
И применим к данной функции:

$(z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = (z - 1) times (1 + frac{1}{z - 1} + frac{({ frac{1}{z - 1})} ^{2} }{2} + frac{(frac{1}{z - 1}) ^{3} }{6} + ...) = \ \ = (z - 1)(1 + frac{1}{z - 1} + frac{1}{2(z - 1 {)}^{2} } + frac{1}{6(z - 1) ^{3}} + ... ) = \ \ =( z - 1) + 1 + frac{1}{2(z - 1)} + frac{1}{6(z - 1) ^{2} } + ...$
главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z=1 содержит бесконечно много отличных от нуля членов, следовательно данная точка является существенно особой.

ОТВЕТ: z=1 - существенно особая точка