Ответы
Ответ дал:
0
Особая точка: 1
Так как при единице функция не определена (на 0 делить нельзя)
Теперь определим ее тип:
1) способ
Рассмотрим лево- и право сторонний пределы:
![a) : lim _{z - > 1 + 0 } (z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = lim _{z - > 1 + 0 } frac{ {e}^{ frac{1}{z - 1} } }{ frac{1}{z - 1} } = frac{e ^{ frac{1}{ + 0} } }{ frac{1}{ + 0} } = ( frac{ infty }{ infty } ) a) : lim _{z - > 1 + 0 } (z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = lim _{z - > 1 + 0 } frac{ {e}^{ frac{1}{z - 1} } }{ frac{1}{z - 1} } = frac{e ^{ frac{1}{ + 0} } }{ frac{1}{ + 0} } = ( frac{ infty }{ infty } )](https://tex.z-dn.net/?f=+a%29+%3A+lim+_%7Bz+-++%26gt%3B++1+%2B+0+%7D+%28z+-+1%29+%7Be%7D%5E%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%7D++%3D++lim+_%7Bz+-++%26gt%3B++1+%2B+0+%7D+frac%7B+%7Be%7D%5E%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%7D+%7D%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%7D++%3D++frac%7Be+%5E%7B+frac%7B1%7D%7B+%2B+0%7D+%7D+%7D%7B+frac%7B1%7D%7B+%2B+0%7D+%7D++%3D+%28+frac%7B+infty+%7D%7B+infty+%7D+%29)
Можно воспользоваться правилом Лопиталя:
![lim _{z - > 1 + 0 } frac{ - {e}^{ frac{1}{z - 1} } times frac{1}{(z - 1) ^{2} } }{ - frac{1}{(z - 1)^{2} } } = lim _{z - > 1 + 0}{e}^{ frac{1}{z - 1} }= e ^{ infty } = infty lim _{z - > 1 + 0 } frac{ - {e}^{ frac{1}{z - 1} } times frac{1}{(z - 1) ^{2} } }{ - frac{1}{(z - 1)^{2} } } = lim _{z - > 1 + 0}{e}^{ frac{1}{z - 1} }= e ^{ infty } = infty](https://tex.z-dn.net/?f=lim+_%7Bz+-++%26gt%3B++1+%2B+0+%7D+frac%7B+-++%7Be%7D%5E%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%7D+times++++frac%7B1%7D%7B%28z+-+1%29+%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7B++-+frac%7B1%7D%7B%28z+-+1%29%5E%7B2%7D+%7D+%7D+++%3D+lim+_%7Bz+-++%26gt%3B++1+%2B+0%7D%7Be%7D%5E%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%7D%3D+e+%5E%7B+infty+%7D++%3D++infty+)
![b) : lim _{z - > 1 - 0 }(z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = 0 times e^{ frac{1}{ - 0} } = 0 times {e}^{ - infty } = 0 times 0 = 0 b) : lim _{z - > 1 - 0 }(z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = 0 times e^{ frac{1}{ - 0} } = 0 times {e}^{ - infty } = 0 times 0 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=b%29+%3A+lim+_%7Bz+-++%26gt%3B++1++-++0+%7D%28z+-+1%29+%7Be%7D%5E%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%7D+%3D+0+times+e%5E%7B++frac%7B1%7D%7B+-+0%7D++%7D+%3D+0+times++%7Be%7D%5E%7B+-++infty+%7D++%3D+0+times+0+%3D+0)
Лево- и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела в точке z=1 - не существует, значит
z=1 - существенно особая точка
2 способ)
Разложение в ряд Лорана:
Воспользуемся готовым разложением:
![{e}^{x} = 1 + x + frac{ {x}^{2} }{2} + frac{ {x}^{3} }{6} + ... {e}^{x} = 1 + x + frac{ {x}^{2} }{2} + frac{ {x}^{3} }{6} + ...](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Be%7D%5E%7Bx%7D++%3D+1+%2B+x+%2B++frac%7B+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B2%7D++%2B++frac%7B+%7Bx%7D%5E%7B3%7D+%7D%7B6%7D++%2B+...)
И применим к данной функции:
![(z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = (z - 1) times (1 + frac{1}{z - 1} + frac{({ frac{1}{z - 1})} ^{2} }{2} + frac{(frac{1}{z - 1}) ^{3} }{6} + ...) = \ \ = (z - 1)(1 + frac{1}{z - 1} + frac{1}{2(z - 1 {)}^{2} } + frac{1}{6(z - 1) ^{3}} + ... ) = \ \ =( z - 1) + 1 + frac{1}{2(z - 1)} + frac{1}{6(z - 1) ^{2} } + ... (z - 1) {e}^{ frac{1}{z - 1} } = (z - 1) times (1 + frac{1}{z - 1} + frac{({ frac{1}{z - 1})} ^{2} }{2} + frac{(frac{1}{z - 1}) ^{3} }{6} + ...) = \ \ = (z - 1)(1 + frac{1}{z - 1} + frac{1}{2(z - 1 {)}^{2} } + frac{1}{6(z - 1) ^{3}} + ... ) = \ \ =( z - 1) + 1 + frac{1}{2(z - 1)} + frac{1}{6(z - 1) ^{2} } + ...](https://tex.z-dn.net/?f=%28z+-+1%29+%7Be%7D%5E%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%7D+%3D+%28z+-+1%29+times+%281+%2B++frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%2B++frac%7B%28%7B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D%29%7D+%5E%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%2B++frac%7B%28frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D%29+%5E%7B3%7D+%7D%7B6%7D++%2B+...%29+%3D++%5C++%5C++%3D+%28z+-+1%29%281+%2B+frac%7B1%7D%7Bz+-+1%7D+%2B+frac%7B1%7D%7B2%28z+-+1+%7B%29%7D%5E%7B2%7D+%7D+%2B+frac%7B1%7D%7B6%28z+-+1%29+%5E%7B3%7D%7D++%2B+...+%29+%3D++%5C++%5C++%3D%28+z+-+1%29+%2B+1+%2B+frac%7B1%7D%7B2%28z+-+1%29%7D+%2B+frac%7B1%7D%7B6%28z+-+1%29+%5E%7B2%7D+%7D+%2B+...)
главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z=1 содержит бесконечно много отличных от нуля членов, следовательно данная точка является существенно особой.
ОТВЕТ: z=1 - существенно особая точка
Так как при единице функция не определена (на 0 делить нельзя)
Теперь определим ее тип:
1) способ
Рассмотрим лево- и право сторонний пределы:
Можно воспользоваться правилом Лопиталя:
Лево- и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела в точке z=1 - не существует, значит
z=1 - существенно особая точка
2 способ)
Разложение в ряд Лорана:
Воспользуемся готовым разложением:
И применим к данной функции:
главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z=1 содержит бесконечно много отличных от нуля членов, следовательно данная точка является существенно особой.
ОТВЕТ: z=1 - существенно особая точка
Вас заинтересует
2 года назад
2 года назад
7 лет назад
7 лет назад
8 лет назад
8 лет назад