Question

Укажите в градусах значение суммы всех корней уравнения

Answer 1

ОДЗ: (так как tgx=sinx / cosx)

$cosxneq 0 => xneq frac{pi}{2} +pi n, n in Z$

Решение:

$sinx +1=(1-sin(270 ^{circ}-2x))*tg^2x\ \ sinx +1=(1+cos2x)*tg^2x\ \ sinx +1=(1+2cos^2x-1)*frac{sin^2x}{cos^2x} \ \ sinx +1=2cos^2x*frac{sin^2x}{cos^2x} \ \ sinx+1=2sin^2x\ \ 2sin^2x-sinx-1=0\ \ sinx=t, -1leq tleq 1\ \ 2t^2-t-1=0\ \ D=1-4*2*(-1)=9=3^2\ \ t_1=frac{1-3}{2*2} =-frac{1}{2}$

$t_2=frac{1+3}{2*2}=1\ \ begin{bmatrix}sinx=-frac{1}{2}\ \ sinx=1end{matrix} Leftrightarrow begin{bmatrix}x=-frac{pi}{6}+2pi n\ \ x=-frac{5pi}{6}+2pi n\ \ x=frac{pi}{2}+2pi n, n in Z end{matrix}$

Корень x=π/2 +2πn - не удовлетворяет ОДЗ

Значение корней в градусах: (надо просто вместо π писать 180°)

$begin{bmatrix}x=-frac{pi}{6}+2pi n=-30^{circ}+360^{circ}n\ \ x=-frac{5pi}{6}+2pi n=-150^{circ}+360^{circ}n, n in Z end{matrix}$

на отрезке [-270°; 90°] находятся два корня: -150° и -30°

-150°-30°=-180°

ОТВЕТ: -180°