Question

найти общее решение однородных дифференциальных уравнений
1. y"-8y'+25y=0

2. y"+5y'+6y=0

3. y"-2y'+y=0

Answer 1

1. a² - 8a + 25 = 0

D = 64 - 100 = 36i²

a₁ = 4 + 3i

a₂ = 4 - 3i

y = e⁴ˣ(C₁cos3x + C₂sin3x)

2) a² + 5a + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1

a₁ = -3

a₂ = -2

y = C₁e⁻²ˣ + C₂e⁻³ˣ

3. a² - 2a + 1 = 0

(a - 1)² = 0

a₁₂ = 1

y = C₁eˣ + C₂xeˣ

Answer 2

Решаем с помощью характерестического уравнения:
1) k²-8k+25=0
D=64-4*25=-36=(6i)²

$k = frac{8 ^{ + } _{ - }6i }{2} = 4^{ + } _{ - }3i$
$y = e ^{4x}(c _{ 1 }cos3x + c _{ 2}sin3x)$
2) k²+5k+6=0
k=-2; -3

$y = c _{ 1 } {e}^{ - 2x} + c_{ 2} {e}^{ - 3x}$
3) k²-2k+1=0
(k-1)²=0
k=1; 1

$y = (c_{ 1 } + c_{ 2}x) {e}^{x}$